Changement de variable (intégrales) : exercices corrigés

Ces exercices sur le changement de variable commencent par des fonctions intérieures bien visibles et progressent vers les logarithmes, le retour à la variable d'origine et les intégrales définies avec de nouvelles bornes. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier pour vérifier rapidement, puis les solutions complètes.

La méthode :

Posez u égal à la fonction intérieure, calculez du, remplacez tout, intégrez, puis revenez à x. Pour un rappel, lisez la page sur le changement de variable.

Exercices

La dérivée est déjà là

1. \displaystyle\int 2x(x^2 + 1)^5\,dx
2. \displaystyle\int \cos(3x)\,dx
3. \displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx
4. \displaystyle\int x^2\sqrt{x^3 + 1}\,dx

Logarithmes et trigonométrie

5. \displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx
6. \displaystyle\int \tan x\,dx
7. \displaystyle\int \sin x\cos^4 x\,dx
8. \displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^x}\,dx
9. \displaystyle\int \frac{1}{x\ln x}\,dx

Exprimer x en fonction de u

10. \displaystyle\int x\sqrt{x + 1}\,dx

Intégrales définies

11. \displaystyle\int_0^2 x(x^2 + 1)^3\,dx
12. \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,e^{\sin x}\,dx

Réponses

Solutions détaillées

1. Posez u = x^2 + 1, donc du = 2x\,dx. C'est exactement le facteur devant :

2. Posez u = 3x, donc du = 3\,dx et dx = \frac{1}{3}du :

3. Posez u = x^2, donc du = 2x\,dx et x\,dx = \frac{1}{2}du :

4. Posez u = x^3 + 1, donc du = 3x^2\,dx et x^2\,dx = \frac{1}{3}du :

5. Posez u = \ln x, donc du = \frac{1}{x}dx :

6. Écrivez \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. Posez u = \cos x, donc du = -\sin x\,dx :

C'est la même chose que \ln|\sec x| + C. Voir l'intégrale de tan x.

7. Posez u = \cos x, donc \sin x\,dx = -du :

8. Posez u = 1 + e^x, donc du = e^x\,dx. Comme 1 + e^x > 0, la valeur absolue est inutile :

9. Posez u = \ln x, donc du = \frac{1}{x}dx. L'intégrale devient \int\frac{1}{u}\,du :

10. Posez u = x + 1, donc du = dx. Il reste un x, donc exprimez-le : x = u - 1. Alors :

Remplacez u = x + 1 pour obtenir la réponse du tableau.

11. Posez u = x^2 + 1, donc x\,dx = \frac{1}{2}du. Changez les bornes : x = 0 donne u = 1 et x = 2 donne u = 5 :

12. Posez u = \sin x, donc du = \cos x\,dx. Les bornes deviennent u = 0 et u = 1 :

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Laisser dx dans l'intégrale. Après le changement de variable, tout doit être exprimé en u et du. Un dx restant signifie qu'il manque une étape.
• Diviser par une variable. Dans \int e^{x^2}\,dx, il n'y a pas de facteur x, donc u = x^2 ne fonctionne pas. On peut corriger des constantes, pas des variables.
• Garder les anciennes bornes. Dans l'exercice 11, intégrer u^3 de 0 à 2 donne une mauvaise réponse. Changez les bornes ou revenez d'abord à x.
• Oublier de revenir à la variable d'origine. Une primitive doit être exprimée en fonction de x.

Continuer à s'entraîner

Pour des exercices illimités avec de nouveaux nombres et une correction immédiate, essayez la leçon sur le changement de variable et le rappel d'Analyse 2. Pour d'autres exemples corrigés, lisez le guide du changement de variable. Quand le changement de variable ne fonctionne plus sur les produits, passez aux exercices sur l'intégration par parties.