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Intégrales exponentielles et logarithmiques

Intégrale de e^(2x) : formule, méthode et exemples

L'intégrale de e^(2x) vaut ½e^(2x) + C, et plus généralement ∫e^(kx) dx = (1/k)e^(kx) + C. Le changement de variable, un graphique et des exemples.

Intégrales exponentielles et logarithmiques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C
Primitive
\frac{1}{2}e^{2x} + C
Forme générale
\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C pour k \ne 0
Méthode
Changement de variable u = 2x, du = 2\,dx
De 0 à 1
\frac{e^2 - 1}{2} \approx 3.195
Sur cette page
  1. Graphique de e²ˣ et de sa primitive
  2. Comment intégrer e²ˣ pas à pas
  3. Vérification par dérivation
  4. Intégrales définies
  5. Exemples corrigés
  6. Erreurs fréquentes

L'intégrale de e^{2x} est \dfrac{1}{2}e^{2x} + C. Plus généralement, pour intégrer e^{kx}, on garde l'exponentielle et on divise par k.

\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C \qquad\qquad \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C\quad (k \ne 0)

Graphique de e²ˣ et de sa primitive

y = e^(2x) et sa primitive ½e^(2x)
L'aire hachurée de 0 à 1 vaut \frac{e^2 - 1}{2} \approx 3.195. La primitive en pointillés a toujours la moitié de la hauteur de e^{2x}, puisque \frac{1}{2}e^{2x} n'est que e^{2x} divisée par deux.

Comment intégrer e²ˣ pas à pas

On utilise un changement de variable.

  1. Poser u = 2x. Alors du = 2\,dx, donc dx = \frac{1}{2}\,du.
  2. Réécrire : \displaystyle\int e^{2x}\,dx = \int e^u\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int e^u\,du.
  3. Intégrer : \frac{1}{2}e^u + C, avec l'intégrale de eˣ.
  4. Revenir à la variable de départ : \frac{1}{2}e^{2x} + C.

Les mêmes étapes avec u = kx donnent \frac{1}{k}e^{kx} + C. Avec une constante ajoutée, u = kx + b, on obtient \frac{1}{k}e^{kx + b} + C.

Une autre façon de le voir. La règle « diviser par la pente de l'intérieur » fonctionne pour tout intérieur affine : \int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin 3x, \int (2x+1)^5\,dx = \frac{1}{12}(2x+1)^6. C'est l'inverse de la dérivation en chaîne, qui multiplie par la pente de l'intérieur.

Vérification par dérivation

\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{k}e^{kx}\right) = \frac{1}{k}\cdot e^{kx}\cdot k = e^{kx}

La règle de dérivation en chaîne fait apparaître un facteur k, que le \frac{1}{k} compense. Voir la dérivée de e²ˣ pour le sens direct.

Intégrales définies

Intégrale Calcul Valeur
\int_0^1 e^{2x}\,dx \frac{1}{2}(e^2 - 1) \approx 3.195
\int_0^{\ln 3} e^{2x}\,dx \frac{1}{2}(9 - 1) 4
\int_{-\infty}^{0} e^{2x}\,dx \frac{1}{2}(1 - 0) \frac{1}{2}
\int_0^{\infty} e^{-3x}\,dx -\frac{1}{3}(0 - 1) \frac{1}{3}

Dans la deuxième ligne, e^{2\ln 3} = (e^{\ln 3})^2 = 9. La dernière ligne illustre un résultat utile : \int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k} pour k > 0.

Exemples corrigés

Exemple 1 : un exposant décalé. \displaystyle\int e^{3x + 1}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x+1} + C.

Exemple 2 : une fraction dans l'exposant. \displaystyle\int e^{x/2}\,dx = 2e^{x/2} + C, puisque k = \frac{1}{2}.

Exemple 3 : développer d'abord. \displaystyle\int (e^x + 1)^2\,dx. On développe en e^{2x} + 2e^x + 1 :

\int (e^{2x} + 2e^x + 1)\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + 2e^x + x + C

Exemple 4 : simplifier un quotient. \displaystyle\int \frac{e^{5x}}{e^{3x}}\,dx = \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C.

Exemple 5 : croissance. Une population croît au rythme de r(t) = 100e^{0.2t} individus par an. L'augmentation sur les 5 premières années vaut

\int_0^5 100e^{0.2t}\,dt = 500\left(e^{1} - 1\right) \approx 859

Erreurs fréquentes

  1. Multiplier au lieu de diviser. \int e^{2x}\,dx ne vaut pas 2e^{2x}. C'est la dérivée.
  2. Diviser par 2x. Le diviseur doit être une constante. Si l'exposant n'est pas affine, le raccourci ne marche pas.
  3. L'appliquer à e^{x^2}. \int e^{x^2}\,dx n'a pas de primitive élémentaire. Voir l'intégrale de e^(x²).
  4. Erreurs de signe avec k négatif. \int e^{-2x}\,dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C. Voir l'intégrale de e⁻ˣ.

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Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de e^(2x) ?
C'est \frac{1}{2}e^{2x} + C.

Quelle est l'intégrale de e^(kx) ?
C'est \frac{1}{k}e^{kx} + C pour toute constante k non nulle. Par exemple, \int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C et \int e^{-4x}\,dx = -\frac{1}{4}e^{-4x} + C.

Quelle est l'intégrale de e^(x/2) ?
C'est 2e^{x/2} + C. Ici k = \frac{1}{2}, donc \frac{1}{k} = 2.

L'intégrale de e^(2x) est-elle égale à e^(2x)/(2x) ?
Non. On divise par la constante 2, pas par 2x. Vérification : la dérivée de \frac{1}{2}e^{2x} est e^{2x}, mais pas celle de \frac{e^{2x}}{2x}.

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