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Intégrales trigonométriques

Intégrale de tan x : formule, démonstration et exemples

L'intégrale de tan x vaut -ln|cos x| + C, ou ln|sec x| + C. Le changement de variable u = cos x, pourquoi les deux formes coïncident, et des exemples.

Intégrales trigonométriques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\int \tan x\,dx = \ln\lvert\sec x\rvert + C
Primitive
\ln\lvert\sec x\rvert + C
Forme équivalente
-\ln\lvert\cos x\rvert + C
Méthode
Écrire \dfrac{\sin x}{\cos x}, puis poser u = \cos x
Forme affine
\int\tan(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert\sec(ax)\rvert + C
Vérification
\dfrac{d}{dx}\ln\lvert\sec x\rvert = \tan x
Sur cette page
  1. Graphique de tan x et de sa primitive
  2. Démonstration pas à pas
  3. Vérification par dérivation
  4. Intégrales définies
  5. Variantes par changement de variable
  6. Exemples corrigés
  7. Erreurs fréquentes

L'intégrale de \tan x est \ln\lvert\sec x\rvert + C, où sec désigne la sécante, l'inverse du cosinus. Aucune dérivée de base ne donne directement \tan x, donc le résultat vient d'un rapide changement de variable.

\int \tan x\,dx = \ln\lvert\sec x\rvert + C = -\ln\lvert\cos x\rvert + C

Graphique de tan x et de sa primitive

Aire sous y = tan x de 0 à π/4, avec la primitive y = ln|sec x|
L'aire hachurée vaut \ln\sqrt{2} \approx 0.347. La primitive en pointillés a un minimum en x = 0, où \tan x = 0, et monte en flèche près des asymptotes x = \pm\frac{\pi}{2}.

Démonstration pas à pas

  1. Écrire avec sinus et cosinus : \displaystyle\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx.
  2. Poser u = \cos x. Alors du = -\sin x\,dx, donc \sin x\,dx = -du.
  3. Substituer : \displaystyle\int\frac{-du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C.
  4. Remplacer u = \cos x : -\ln\lvert\cos x\rvert + C.
  5. Simplifier avec une propriété du logarithme : -\ln\lvert\cos x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert} = \ln\lvert\sec x\rvert.

L'étape 3 utilise l'intégrale de 1/x. C'est le schéma \int\frac{f'}{f}\,dx = \ln\lvert f\rvert, avec un signe moins car le numérateur vaut -f'.

Vérification par dérivation

\frac{d}{dx}\ln\lvert\sec x\rvert = \frac{1}{\sec x}\cdot\sec x\tan x = \tan x \checkmark

On utilise ici la dérivée de sec x, \sec x\tan x. Comparez avec la dérivée de tan x, qui vaut \sec^2 x : un résultat complètement différent.

Intégrales définies

\int_0^{\pi/4}\tan x\,dx = \Big[\ln\lvert\sec x\rvert\Big]_0^{\pi/4} = \ln\sqrt{2} - \ln 1 = \frac{1}{2}\ln 2
\int_0^{\pi/3}\tan x\,dx = \ln\sec\frac{\pi}{3} - 0 = \ln 2

Comme \tan x est impaire, \int_{-a}^{a}\tan x\,dx = 0 pour a < \frac{\pi}{2}. Intégrer jusqu'à \frac{\pi}{2} donne une intégrale impropre qui diverge, car \ln\sec x \to \infty.

Variantes par changement de variable

\int\tan(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\sec(ax + b)\rvert + C

Par exemple, \int\tan(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert\sec(3x)\rvert + C.

Avec la dérivée de l'intérieur en facteur : \int x\tan(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sec(x^2)\rvert + C.

Exemples corrigés

Exemple 1 : tan fois sec². \int\tan x\sec^2 x\,dx avec u = \tan x, du = \sec^2 x\,dx, donne \frac{\tan^2 x}{2} + C.

Exemple 2 : tan au cube. On utilise \tan^2 x = \sec^2 x - 1 :

\int\tan^3 x\,dx = \int\tan x\sec^2 x\,dx - \int\tan x\,dx = \frac{\tan^2 x}{2} - \ln\lvert\sec x\rvert + C

Exemple 3 : la cotangente. Les mêmes étapes avec u = \sin x donnent \int\cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C. Voir l'intégrale de cotan x.

Erreurs fréquentes

  1. Répondre \sec^2 x. C'est la dérivée de \tan x, pas son intégrale.
  2. Répondre \ln\lvert\cos x\rvert sans le signe moins. Sa dérivée vaut -\tan x.
  3. Oublier la valeur absolue. \cos x est négatif sur \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right), et le \ln d'un nombre négatif n'est pas défini.
  4. La confondre avec \int\tan^2 x\,dx, qui vaut \tan x - x + C. Voir l'intégrale de tan² x.

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Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de tan x ?
L'intégrale de \tan x est \ln\lvert\sec x\rvert + C. En France, on l'écrit le plus souvent -\ln\lvert\cos x\rvert + C.

ln|sec x| et -ln|cos x| sont-ils identiques ?
Oui. Comme \sec x = \frac{1}{\cos x}, \ln\lvert\sec x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert} = -\ln\lvert\cos x\rvert.

Combien vaut l'intégrale de tan x entre 0 et π/4 ?
Elle vaut \ln\sec\frac{\pi}{4} - \ln\sec 0 = \ln\sqrt{2} = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347.

Quelle est l'intégrale de tan(2x) ?
C'est \frac{1}{2}\ln\lvert\sec(2x)\rvert + C.

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