AP Calculus Unidade 2: revisão da derivada e suas regras (AB e BC)
Revisão da Unidade 2 de AP Calculus AB e BC: derivada pela definição, diferenciabilidade, regras da potência, do produto, do quociente e trigonométricas.
Unidades de AP Calculus Atualizado 4 min de leitura
Visão geral
- Peso na prova AB
- 10–15%
- Peso na prova BC
- 5–10%
- Ideias centrais
- A derivada como limite, diferenciabilidade, as regras básicas de derivação
- Só no BC
- Nada, AB e BC cobrem os mesmos tópicos da Unidade 2
- Vem antes de
- Unidade 3, regra da cadeia, funções implícitas e inversas
- Pratique aqui
- Cálculo 1: A derivada
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AP Calculus Unidade 2, Derivação: definição e propriedades fundamentais (Differentiation: Definition and Fundamental Properties), apresenta a derivada. Ela começa com uma pergunta: com que rapidez algo está variando em um instante? A resposta é um limite de taxas médias de variação, e ao final da unidade você calcula a maioria das derivadas com algumas regras rápidas em vez de um limite.
| AP Calculus AB | AP Calculus BC | |
|---|---|---|
| Peso na prova | 10–15% | 5–10% |
| Tópicos extras | nenhum | nenhum |
O que a Unidade 2 cobre
O College Board divide a unidade nos tópicos abaixo. Cada linha leva a uma lição em que você pratica com números novos a cada vez.
| Tópico | O que você aprende | Prática |
|---|---|---|
| Taxas média e instantânea | Inclinação de secantes e o que acontece quando o intervalo diminui | Taxa de variação instantânea |
| Definição da derivada | A definição por limite e as notações f'(x), \frac{dy}{dx} | A definição por limite |
| Estimando derivadas | A partir de gráficos e tabelas de valores | Taxa média de variação |
| Diferenciabilidade e continuidade | Bicos, cúspides, tangentes verticais e saltos | Diferenciabilidade |
| Regra da potência | \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} | Regra da potência |
| Regras da soma, da diferença e da constante | Derivar termo a termo | Regras da soma e da constante |
| \sin x, \cos x, e^x, \ln x | As primeiras derivadas que não são de polinômios | Derivadas trigonométricas |
| Regra do produto | (fg)' = f'g + fg' | Regra do produto |
| Regra do quociente | \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} | Regra do quociente |
| \tan x, \cot x, \sec x, \csc x | Obtidas com a regra do quociente | Derivadas trigonométricas |
As ideias principais
A derivada é a inclinação da reta tangente. A taxa média de variação de f em [x, x + h] é a inclinação de uma reta secante. Quando h \to 0, a reta secante vira a reta tangente:
A derivada também é uma taxa. Se s(t) é a posição, s'(t) é a velocidade. Se V(t) é o volume em litros e t está em minutos, V'(t) está em litros por minuto. As unidades ajudam a conferir qualquer resposta.
Diferenciável significa suave. Se f é diferenciável em c, ela é contínua em c. A recíproca é falsa: |x| é contínua em 0 mas tem um bico, então as inclinações à esquerda e à direita (-1 e 1) não coincidem.
As regras substituem o limite. Treine a regra da potência, a regra do produto e a regra do quociente até ficarem automáticas. Depois decore as seis derivadas trigonométricas, além de \frac{d}{dx}e^x = e^x e \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}.
Questões de exemplo
1. Usando a definição por limite. Para f(x) = x^2:
2. Estimando a partir de uma tabela. Uma função tem f(1) = 5 e f(3) = 11. A melhor estimativa de f'(2) é a taxa média de variação em [1, 3]:
3. Regra do produto. \frac{d}{dx}\left(x^2 \sin x\right) = 2x\sin x + x^2\cos x.
4. Regra do quociente. \frac{d}{dx}\left(\frac{e^x}{x}\right) = \frac{x e^x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}.
5. Reconheça uma derivada. O limite \lim_{h \to 0} \frac{\ln(e + h) - 1}{h} é a derivada de \ln x em x = e, porque \ln e = 1. A resposta é \frac{1}{e}.
Como estudar a Unidade 2
- Encontre derivadas escondidas. Quando um limite tem a forma \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, identifique f e a e depois derive. Isso aparece em quase toda prova.
- Sempre inclua as unidades. "A derivada é 3" perde o ponto de contexto. "A temperatura está subindo 3 graus por minuto em t = 2" ganha.
- Conheça as falhas de diferenciabilidade. Esboce um bico, uma cúspide, uma tangente vertical e um salto até conseguir reconhecer cada um num gráfico.
- Treine as regras. Use a referência de derivadas e o formulário de cálculo para conferir seu trabalho.
- Resolva listas de exercícios. Tente os exercícios de derivada pela definição, os exercícios de regra da potência e os exercícios de regra do produto e do quociente, todos com resolução completa.
Para o mapa completo do curso, veja o guia de AP Calculus AB ou o guia de AP Calculus BC.
AP e Advanced Placement são marcas registradas do College Board, que não tem vínculo com a PracticeCalculus e não endossa este guia. Os nomes e pesos das unidades vêm do referencial do curso (course framework) do College Board; confira lá se houver mudanças.
Pratique agora
A definição por limite
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