AP Calculus unidad 2: repaso de la derivada y sus reglas (AB y BC)
Repaso de la unidad 2 de AP Calculus AB y BC: derivada por definición, derivabilidad, reglas de la potencia, producto y cociente, derivadas trigonométricas.
Unidades de AP Calculus Actualizado 4 min de lectura
De un vistazo
- Peso en el examen AB
- 10–15%
- Peso en el examen BC
- 5–10%
- Ideas clave
- La derivada como límite, la derivabilidad, las reglas básicas de derivación
- Solo BC
- Nada, AB y BC cubren los mismos temas en la unidad 2
- Va antes de
- La unidad 3, la regla de la cadena y las funciones implícitas e inversas
- Practica aquí
- Cálculo 1: la derivada
La unidad 2 de AP Calculus, la derivada: definición y propiedades fundamentales (Differentiation: Definition and Fundamental Properties), presenta la derivada. Empieza con una pregunta: ¿a qué velocidad cambia algo en un instante concreto? La respuesta es un límite de tasas de cambio medias, y al final de la unidad puedes calcular la mayoría de las derivadas con unas pocas reglas rápidas en lugar de un límite.
| AP Calculus AB | AP Calculus BC | |
|---|---|---|
| Peso en el examen | 10–15% | 5–10% |
| Temas adicionales | ninguno | ninguno |
Qué cubre la unidad 2
College Board divide la unidad en estos temas. Cada fila enlaza a una lección donde puedes practicarlo con números nuevos cada vez.
| Tema | Qué aprendes | Práctica |
|---|---|---|
| Tasas media e instantánea | Pendientes de rectas secantes, y qué pasa cuando el intervalo se reduce | Tasa de cambio instantánea |
| Definir la derivada | La definición por límite y las notaciones f'(x), \frac{dy}{dx} | La definición por límite |
| Estimar derivadas | A partir de gráficas y tablas de valores | Tasa de cambio media |
| Derivabilidad y continuidad | Picos, cúspides, tangentes verticales y saltos | Derivabilidad |
| Regla de la potencia | \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} | Regla de la potencia |
| Reglas de la suma, la resta y la constante | Derivar término a término | Reglas de la suma y la constante |
| \sin x, \cos x, e^x, \ln x | Las primeras derivadas de funciones no polinómicas | Derivadas trigonométricas |
| Regla del producto | (fg)' = f'g + fg' | Regla del producto |
| Regla del cociente | \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} | Regla del cociente |
| \tan x, \cot x, \sec x, \csc x | Se obtienen con la regla del cociente | Derivadas trigonométricas |
Las ideas clave
La derivada es la pendiente de la recta tangente. La tasa de cambio media de f en [x, x + h] es la pendiente de una recta secante. Cuando h \to 0, la recta secante se convierte en la recta tangente:
La derivada también es una tasa. Si s(t) es la posición, s'(t) es la velocidad. Si V(t) es un volumen en litros y t está en minutos, V'(t) está en litros por minuto. Las unidades te ayudan a comprobar cualquier respuesta.
Derivable significa suave. Si f es derivable en c, es continua en c. El recíproco no se cumple: |x| es continua en 0 pero tiene un pico, así que las pendientes por la izquierda y por la derecha (-1 y 1) no coinciden.
Las reglas sustituyen al límite. Practica la regla de la potencia, la regla del producto y la regla del cociente hasta que te salgan solas. Después memoriza las seis derivadas trigonométricas, además de \frac{d}{dx}e^x = e^x y \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}.
Preguntas de ejemplo
1. Usar la definición por límite. Para f(x) = x^2:
2. Estimar a partir de una tabla. Una función cumple f(1) = 5 y f(3) = 11. La mejor estimación de f'(2) es la tasa de cambio media en [1, 3]:
3. Regla del producto. \frac{d}{dx}\left(x^2 \sin x\right) = 2x\sin x + x^2\cos x.
4. Regla del cociente. \frac{d}{dx}\left(\frac{e^x}{x}\right) = \frac{x e^x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}.
5. Reconocer una derivada. El límite \lim_{h \to 0} \frac{\ln(e + h) - 1}{h} es la derivada de \ln x en x = e, porque \ln e = 1. La respuesta es \frac{1}{e}.
Cómo estudiar la unidad 2
- Detecta derivadas escondidas. Cuando un límite tenga la forma \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, identifica f y a y luego deriva. Aparece en casi todos los exámenes.
- Incluye siempre las unidades. "La derivada es 3" pierde el punto de contexto. "La temperatura sube a 3 grados por minuto en t = 2" lo gana.
- Conoce los casos en que falla la derivabilidad. Dibuja un pico, una cúspide, una tangente vertical y un salto hasta que sepas reconocer cada uno en una gráfica.
- Practica las reglas a fondo. Usa la referencia de derivadas y el formulario de cálculo para comprobar tu trabajo.
- Resuelve colecciones de ejercicios. Prueba los ejercicios de la derivada por definición, los ejercicios de la regla de la potencia y los ejercicios de la regla del producto y del cociente, todos con soluciones completas.
Para ver el mapa completo del curso, consulta la guía de AP Calculus AB o la guía de AP Calculus BC.
AP y Advanced Placement son marcas registradas de College Board, que no está afiliado a PracticeCalculus ni respalda esta guía. Los nombres y pesos de las unidades provienen del marco del curso de College Board; consúltalo por si hay cambios.
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