AP Calculus Unidade 5: revisão de análise de funções (AB e BC)

AP Calculus Unidade 5, Aplicações analíticas da derivada (Analytical Applications of Differentiation), ensina a ler uma função por meio das suas derivadas. A primeira derivada diz onde a função sobe e desce. A segunda derivada diz como ela se curva. Juntas, elas encontram máximos e mínimos, que é a essência da otimização. É uma das maiores unidades da prova AB.

O que a Unidade 5 cobre

O College Board divide a unidade nos tópicos abaixo. Cada linha leva a uma lição em que você pratica com números novos a cada vez.

As ideias principais

O Teorema do Valor Médio garante uma inclinação igual. Se f é contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b), pelo menos um ponto tem reta tangente paralela à reta secante. Leia as páginas do Teorema do Valor Médio e do Teorema do Valor Extremo para ver as condições exatas.

f' controla o sentido, f'' controla a forma. f' > 0 significa crescente e f' < 0 significa decrescente. f'' > 0 significa concavidade para cima e f'' < 0 significa concavidade para baixo. Um ponto de inflexão é onde f'' muda de sinal.

Otimização é encontrar extremos com uma história. Escreva a grandeza a maximizar ou minimizar como função de uma variável, encontre seus pontos críticos e justifique que a resposta é um máximo ou um mínimo, usando o teste da primeira derivada, o teste da segunda derivada ou o teste dos candidatos.

Questões de exemplo

1. Teorema do Valor Médio. Para f(x) = x^2 em [1, 3], a taxa média de variação é \frac{9 - 1}{3 - 1} = 4. Fazendo f'(c) = 2c = 4 obtemos c = 2, que está dentro do intervalo.

2. Extremos relativos. Para f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2:

f' passa de positiva para negativa em x = -1, então f(-1) = 7 é um máximo relativo. Ela passa de negativa para positiva em x = 3, então f(3) = -25 é um mínimo relativo. Como f''(x) = 6x - 6 muda de sinal em x = 1, há um ponto de inflexão em (1, -9).

3. Teste dos candidatos. Em [-2, 4], verifique as extremidades e os pontos críticos: f(-2) = 0, f(-1) = 7, f(3) = -25 e f(4) = -18. O máximo absoluto é 7 em x = -1 e o mínimo absoluto é -25 em x = 3.

4. Otimização. Um fazendeiro tem 100 m de cerca para cercar um retângulo junto a um rio, cercando só três lados. Com largura x, a área é A(x) = x(100 - 2x). Então A'(x) = 100 - 4x = 0 em x = 25, e A''(x) = -4 < 0, então é um máximo. A melhor área é 25 \times 50 = 1250 m².

Como estudar a Unidade 5

• Pratique com o gráfico de f'. Muitas questões dissertativas dão apenas f'. Leia o crescimento onde f' está acima do eixo, e a concavidade para cima onde f' está subindo.
• Justifique com mudanças de sinal. Escreva "porque f' passa de negativa para positiva em x = 3". Os corretores querem o motivo, não só a resposta.
• Nunca pule as extremidades. Em um intervalo fechado, o máximo absoluto muitas vezes está numa extremidade.
• Confira primeiro as condições do TVM. Afirme a continuidade e a diferenciabilidade antes de concluir qualquer coisa.
• Resolva listas de exercícios. Tente os exercícios de otimização, os exercícios de esboço de gráficos e os exercícios do Teorema do Valor Médio, todos com resolução completa. O guia de esboço de gráficos com derivadas reúne a unidade inteira.

Para o mapa completo do curso, veja o guia de AP Calculus AB ou o guia de AP Calculus BC.

AP e Advanced Placement são marcas registradas do College Board, que não tem vínculo com a PracticeCalculus e não endossa este guia. Os nomes e pesos das unidades vêm do referencial do curso (course framework) do College Board; confira lá se houver mudanças.