AP Calc Einheit 5: Funktionen untersuchen (AB und BC)

AP Calculus Einheit 5, Analytische Anwendungen der Differentiation (Analytical Applications of Differentiation), bringt dir bei, eine Funktion über ihre Ableitungen zu lesen. Die erste Ableitung sagt, wo eine Funktion steigt und fällt. Die zweite Ableitung sagt, wie sie sich krümmt. Zusammen finden sie Maxima und Minima, und genau darum geht es bei Extremwertaufgaben. Sie ist eine der größten Einheiten der AB-Prüfung.

Was Einheit 5 umfasst

Das College Board teilt die Einheit in diese Themen. Jede Zeile verlinkt eine Lektion, in der du das Thema jedes Mal mit neuen Zahlen üben kannst.

Die wichtigsten Ideen

Der Mittelwertsatz garantiert eine passende Steigung. Ist f stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b), dann hat mindestens ein Punkt eine Tangente parallel zur Sekante. Die genauen Voraussetzungen findest du auf den Seiten zum Mittelwertsatz und zum Satz vom Maximum und Minimum.

f' bestimmt die Richtung, f'' die Form. f' > 0 bedeutet steigend, f' < 0 fallend. f'' > 0 bedeutet linksgekrümmt, f'' < 0 rechtsgekrümmt. Ein Wendepunkt liegt dort, wo f'' das Vorzeichen wechselt.

Optimierung heißt Extrema mit Geschichte. Schreibe die Größe, die maximal oder minimal werden soll, als Funktion einer Variablen, bestimme ihre kritischen Punkte und begründe mit dem Kriterium der ersten Ableitung, dem der zweiten Ableitung oder dem Kandidatentest, dass ein Maximum oder Minimum vorliegt.

Beispielaufgaben

1. Mittelwertsatz. Für f(x) = x^2 auf [1, 3] ist die mittlere Änderungsrate \frac{9 - 1}{3 - 1} = 4. Aus f'(c) = 2c = 4 folgt c = 2, und das liegt im Intervall.

2. Lokale Extrema. Für f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2 gilt:

f' wechselt bei x = -1 von positiv nach negativ, also ist f(-1) = 7 ein lokales Maximum. Bei x = 3 wechselt die Ableitung von negativ nach positiv, also ist f(3) = -25 ein lokales Minimum. Da f''(x) = 6x - 6 bei x = 1 das Vorzeichen wechselt, liegt bei (1, -9) ein Wendepunkt.

3. Kandidatentest. Prüfe auf [-2, 4] die Randpunkte und kritischen Punkte: f(-2) = 0, f(-1) = 7, f(3) = -25 und f(4) = -18. Das globale Maximum ist 7 bei x = -1, das globale Minimum -25 bei x = 3.

4. Optimierung. Ein Landwirt hat 100 m Zaun, um an einem Fluss ein Rechteck einzuzäunen, wobei nur drei Seiten einen Zaun brauchen. Mit der Breite x ist die Fläche A(x) = x(100 - 2x). Dann ist A'(x) = 100 - 4x = 0 bei x = 25, und A''(x) = -4 < 0, also liegt ein Maximum vor. Die größte Fläche ist 25 \times 50 = 1250 m².

So lernst du für Einheit 5

• Mit dem Graphen von f' üben. Viele Freitextaufgaben geben nur f' vor. Steigen liest du dort ab, wo f' oberhalb der Achse liegt, Linkskrümmung dort, wo f' steigt.
• Mit Vorzeichenwechseln begründen. Schreib „weil f' bei x = 3 von negativ nach positiv wechselt“. Die Korrektoren wollen die Begründung, nicht nur das Ergebnis.
• Nie die Randpunkte auslassen. Auf einem abgeschlossenen Intervall liegt das globale Maximum oft am Rand.
• Zuerst die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes prüfen. Nenne Stetigkeit und Differenzierbarkeit, bevor du etwas folgerst.
• Aufgabensammlungen durcharbeiten. Probiere die Extremwertaufgaben, die Aufgaben zur Kurvendiskussion und die Aufgaben zum Mittelwertsatz, jeweils mit vollständigen Lösungen. Der Leitfaden zur Kurvendiskussion mit Ableitungen fasst die ganze Einheit zusammen.

Den Überblick über den ganzen Kurs findest du im Leitfaden zu AP Calculus AB oder im Leitfaden zu AP Calculus BC.

AP und Advanced Placement sind eingetragene Marken des College Board, das nicht mit PracticeCalculus verbunden ist und diesen Leitfaden nicht unterstützt. Die Namen und Gewichtungen der Einheiten stammen aus dem Kursrahmen (Course Framework) des College Board; prüfe dort, ob sich etwas geändert hat.