AP Calculus unidad 5: repaso del análisis de funciones (AB y BC)
Repaso de la unidad 5 de AP Calculus AB y BC: Teorema del Valor Medio, extremos, crecimiento y decrecimiento, concavidad, representación gráfica y optimización.
Unidades de AP Calculus Actualizado 4 min de lectura
De un vistazo
- Peso en el examen AB
- 15–20%
- Peso en el examen BC
- 10–15%
- Ideas clave
- Teorema del Valor Medio, extremos, criterios de la primera y la segunda derivada, optimización
- Solo BC
- Nada, AB y BC cubren los mismos temas en la unidad 5
- Va antes de
- La unidad 6, integración y acumulación del cambio
- Practica aquí
- Cálculo 1: aplicaciones de la derivada
La unidad 5 de AP Calculus, aplicaciones analíticas de la derivada (Analytical Applications of Differentiation), te enseña a leer una función a través de sus derivadas. La primera derivada indica dónde sube y baja una función. La segunda derivada indica cómo se curva. Juntas encuentran máximos y mínimos, que es de lo que trata la optimización. Es una de las unidades con más peso en el examen AB.
| AP Calculus AB | AP Calculus BC | |
|---|---|---|
| Peso en el examen | 15–20% | 10–15% |
| Temas adicionales | ninguno | ninguno |
Qué cubre la unidad 5
College Board divide la unidad en estos temas. Cada fila enlaza a una lección donde puedes practicarlo con números nuevos cada vez.
| Tema | Qué aprendes | Práctica |
|---|---|---|
| Teorema del Valor Medio | La tasa media es igual a la tasa instantánea en algún punto | Aproximación lineal y TVM |
| Teorema del Valor Extremo y puntos críticos | Cuándo deben existir extremos y dónde buscarlos | Puntos críticos |
| Crecimiento y decrecimiento | Usar el signo de f' | Crecimiento y decrecimiento |
| Criterio de la primera derivada | Extremos relativos a partir de los cambios de signo de f' | Crecimiento y decrecimiento |
| Criterio de los candidatos | Extremos absolutos en un intervalo cerrado | Extremos absolutos |
| Concavidad | Usar el signo de f'', y puntos de inflexión | Segunda derivada |
| Criterio de la segunda derivada | Clasificar un punto crítico con f'' | Segunda derivada |
| Representar f, f' y f'' | Pasar de una gráfica a otra entre las tres | Práctica de aplicaciones |
| Optimización | Construir y maximizar una función a partir de un enunciado | Optimización |
| Relaciones implícitas | Tangentes horizontales y verticales en curvas como las circunferencias | Derivación implícita |
Las ideas clave
El Teorema del Valor Medio garantiza una pendiente igual. Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), al menos un punto tiene una recta tangente paralela a la recta secante. Lee las páginas del Teorema del Valor Medio y del Teorema del Valor Extremo para ver las condiciones exactas.
f' controla la dirección, f'' controla la forma. f' > 0 significa creciente y f' < 0 significa decreciente. f'' > 0 significa cóncava hacia arriba y f'' < 0 significa cóncava hacia abajo. Un punto de inflexión es donde f'' cambia de signo.
La optimización es buscar extremos con un enunciado. Escribe la magnitud que hay que maximizar o minimizar como función de una sola variable, halla sus puntos críticos y justifica que tu respuesta es un máximo o un mínimo, con el criterio de la primera derivada, el de la segunda derivada o el de los candidatos.
Preguntas de ejemplo
1. Teorema del Valor Medio. Para f(x) = x^2 en [1, 3], la tasa de cambio media es \frac{9 - 1}{3 - 1} = 4. Igualar f'(c) = 2c = 4 da c = 2, que está dentro del intervalo.
2. Extremos relativos. Para f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2:
f' pasa de positiva a negativa en x = -1, así que f(-1) = 7 es un máximo relativo. Pasa de negativa a positiva en x = 3, así que f(3) = -25 es un mínimo relativo. Como f''(x) = 6x - 6 cambia de signo en x = 1, hay un punto de inflexión en (1, -9).
3. Criterio de los candidatos. En [-2, 4], comprueba los extremos del intervalo y los puntos críticos: f(-2) = 0, f(-1) = 7, f(3) = -25 y f(4) = -18. El máximo absoluto es 7 en x = -1 y el mínimo absoluto es -25 en x = 3.
4. Optimización. Un granjero tiene 100 m de valla para cercar un rectángulo junto a un río, vallando solo tres lados. Con anchura x, el área es A(x) = x(100 - 2x). Entonces A'(x) = 100 - 4x = 0 en x = 25, y A''(x) = -4 < 0, así que es un máximo. La mejor área es 25 \times 50 = 1250 m².
Cómo estudiar la unidad 5
- Practica con la gráfica de f'. Muchas preguntas de respuesta libre solo dan f'. Lee el crecimiento donde f' está por encima del eje, y la concavidad hacia arriba donde f' sube.
- Justifica con cambios de signo. Escribe "porque f' pasa de negativa a positiva en x = 3". Los correctores quieren el motivo, no solo la respuesta.
- No te saltes nunca los extremos del intervalo. En un intervalo cerrado, el máximo absoluto suele estar en un extremo.
- Comprueba primero las condiciones del TVM. Enuncia la continuidad y la derivabilidad antes de concluir nada.
- Resuelve colecciones de ejercicios. Prueba los ejercicios de optimización, los ejercicios de representación de funciones y los ejercicios del Teorema del Valor Medio, todos con soluciones completas. La guía de representación de funciones con derivadas reúne toda la unidad.
Para ver el mapa completo del curso, consulta la guía de AP Calculus AB o la guía de AP Calculus BC.
AP y Advanced Placement son marcas registradas de College Board, que no está afiliado a PracticeCalculus ni respalda esta guía. Los nombres y pesos de las unidades provienen del marco del curso de College Board; consúltalo por si hay cambios.
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