AP Calculus unité 5 : révision de l'étude de fonctions

L'unité 5 d'AP Calculus, applications analytiques de la dérivation (Analytical Applications of Differentiation), apprend à lire une fonction à travers ses dérivées. La dérivée première indique où une fonction monte et descend. La dérivée seconde indique comment elle se courbe. Ensemble, elles permettent de trouver les maximums et les minimums, ce qui est tout l'enjeu de l'optimisation. C'est l'une des plus grosses unités de l'examen AB.

Ce que couvre l'unité 5

Le College Board découpe l'unité en ces notions. Chaque ligne renvoie à une leçon où vous pouvez vous entraîner avec de nouveaux nombres à chaque fois.

Les idées clés

Le théorème des accroissements finis garantit une pente égale. Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur (a, b), au moins un point a une tangente parallèle à la sécante. Lisez les pages sur le théorème des accroissements finis et le théorème des bornes atteintes pour les conditions exactes.

f' donne le sens de variation, f'' donne la forme. f' > 0 signifie croissante et f' < 0 décroissante. f'' > 0 signifie convexe et f'' < 0 concave. Un point d'inflexion est un point où f'' change de signe.

L'optimisation, ce sont des extremums avec un énoncé. Écrivez la grandeur à maximiser ou minimiser en fonction d'une seule variable, trouvez ses points critiques, et justifiez que votre réponse est un maximum ou un minimum, avec le test de la dérivée première, celui de la dérivée seconde ou le test des candidats.

Exemples de questions

1. Théorème des accroissements finis. Pour f(x) = x^2 sur [1, 3], le taux de variation moyen vaut \frac{9 - 1}{3 - 1} = 4. Poser f'(c) = 2c = 4 donne c = 2, qui est bien dans l'intervalle.

2. Extremums locaux. Pour f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2 :

f' passe du positif au négatif en x = -1, donc f(-1) = 7 est un maximum local. Elle passe du négatif au positif en x = 3, donc f(3) = -25 est un minimum local. Comme f''(x) = 6x - 6 change de signe en x = 1, il y a un point d'inflexion en (1, -9).

3. Test des candidats. Sur [-2, 4], examinez les bornes et les points critiques : f(-2) = 0, f(-1) = 7, f(3) = -25 et f(4) = -18. Le maximum global vaut 7 en x = -1 et le minimum global vaut -25 en x = 3.

4. Optimisation. Un agriculteur dispose de 100 m de clôture pour fermer un rectangle le long d'une rivière, en ne clôturant que trois côtés. Avec une largeur x, l'aire vaut A(x) = x(100 - 2x). Alors A'(x) = 100 - 4x = 0 en x = 25, et A''(x) = -4 < 0, donc c'est un maximum. La meilleure aire est 25 \times 50 = 1250 m².

Comment réviser l'unité 5

• Entraînez-vous avec le graphe de f'. Beaucoup de questions à réponse rédigée ne donnent que f'. Lisez la croissance là où f' est au-dessus de l'axe, et la convexité là où f' croît.
• Justifiez par les changements de signe. Écrivez « car f' passe du négatif au positif en x = 3 ». Les correcteurs veulent la raison, pas seulement la réponse.
• N'oubliez jamais les bornes. Sur un intervalle fermé, le maximum global se trouve souvent à une borne.
• Vérifiez d'abord les hypothèses du théorème des accroissements finis. Énoncez la continuité et la dérivabilité avant de conclure quoi que ce soit.
• Travaillez des séries d'exercices. Essayez les exercices d'optimisation, les exercices sur l'étude de fonctions et les exercices sur le théorème des accroissements finis, tous avec solutions complètes. Le guide sur le tracé de courbes avec les dérivées rassemble toute l'unité.

Pour le plan complet du cours, consultez le guide AP Calculus AB ou le guide AP Calculus BC.

AP et Advanced Placement sont des marques déposées du College Board, qui n'est pas affilié à PracticeCalculus et ne cautionne pas ce guide. Les noms et les poids des unités proviennent du cadre de cours du College Board ; consultez-le pour toute modification.