AP Calculus Unidade 7: revisão de equações diferenciais (AB e BC)
Revisão da Unidade 7 de AP Calculus AB e BC: campos de direções, separação de variáveis, modelos exponenciais e, no BC, método de Euler e modelo logístico.
Unidades de AP Calculus Atualizado 4 min de leitura
Visão geral
- Peso na prova AB
- 5–10%
- Peso na prova BC
- 5–10%
- Ideias centrais
- Campos de direções, separação de variáveis, soluções particulares, modelos exponenciais
- Só no BC
- Método de Euler, modelos logísticos
- Vem antes de
- Unidade 8, aplicações da integral
- Pratique aqui
- Cálculo 2: Equações diferenciais
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A Unidade 7 de AP Calculus, Equações diferenciais (Differential Equations), junta derivadas e integrais. Uma equação diferencial diz como uma grandeza varia, como \frac{dy}{dx} = xy, e sua tarefa é encontrar a própria grandeza. É uma unidade pequena na parte de múltipla escolha, mas tem sua própria questão dissertativa na maioria das provas.
| AP Calculus AB | AP Calculus BC | |
|---|---|---|
| Peso na prova | 5–10% | 5–10% |
| Tópicos extras | nenhum | Método de Euler, modelos logísticos |
O que a Unidade 7 cobre
O College Board divide a unidade nestes tópicos. Cada linha leva a uma lição em que você pratica com números novos a cada vez.
| Tópico | O que você aprende | Prática |
|---|---|---|
| Modelagem com equações diferenciais | Transformar "a taxa é proporcional a" em uma equação | Crescimento e decaimento |
| Verificação de soluções | Substituir uma função na equação | Equações separáveis |
| Esboço de campos de direções | Desenhar pequenos segmentos com inclinação \frac{dy}{dx} | Campos de direções |
| Raciocínio com campos de direções | Associar campos a equações e traçar soluções | Campos de direções |
| Método de Euler (BC) | Avançar ao longo de retas tangentes para estimar uma solução | Método de Euler |
| Soluções gerais por separação | Separar variáveis e integrar | Equações separáveis |
| Soluções particulares | Usar uma condição inicial para encontrar C | Equações separáveis |
| Modelos exponenciais | \frac{dy}{dt} = ky e y = y_0 e^{kt} | Crescimento e decaimento |
| Modelos logísticos (BC) | Crescimento que se estabiliza na capacidade de suporte | Crescimento logístico |
As ideias principais
Uma solução é uma função, não um número. Para verificar se y = Ce^{3x} resolve y' = 3y, derive: y' = 3Ce^{3x} = 3y. Funciona para todo C, então existe uma família inteira de soluções. Uma condição inicial escolhe uma delas.
Campos de direções mostram todas as soluções de uma vez. Em cada ponto (x, y), desenhe um pequeno segmento com inclinação \frac{dy}{dx}. Uma curva solução segue os segmentos como uma folha levada pela correnteza. Onde \frac{dy}{dx} depende só de x, os segmentos de uma mesma coluna são paralelos.
A separação de variáveis resolve a equação exatamente. Leve todo y para um lado com dy e todo x para o outro com dx, depois integre os dois lados.
Crescimento exponencial é uma equação diferencial. "A taxa de variação de y é proporcional a y" significa \frac{dy}{dt} = ky, e suas soluções são y = y_0 e^{kt}. No crescimento k > 0, no decaimento k < 0.
BC: o crescimento logístico se estabiliza. Em \frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{L}\right), a população se aproxima da capacidade de suporte L e cresce mais rápido quando P = \frac{L}{2}.
Questões de exemplo
1. Separação de variáveis. Resolva \frac{dy}{dx} = xy com y(0) = 2. Separe e integre:
Em (0, 2), C = \ln 2. Como y > 0, y = 2e^{x^2/2}.
2. Decaimento exponencial. Uma amostra de 100 g tem meia-vida de 5 anos. Depois de 15 anos, passaram três meias-vidas, então restam 100\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 12.5 g. Na forma y = 100e^{kt}, k = -\frac{\ln 2}{5}.
3. Leitura de um campo de direções. Para \frac{dy}{dx} = x - y, a inclinação em (1, 0) é 1 e a inclinação em (2, 2) é 0. Todo ponto da reta y = x tem um segmento horizontal.
4. BC: método de Euler. Para \frac{dy}{dx} = x + y com y(0) = 1, use dois passos de tamanho 0.5 para estimar y(1):
| Ponto | Inclinação x + y | Próximo y |
|---|---|---|
| (0, 1) | 1 | 1 + 0.5(1) = 1.5 |
| (0.5, 1.5) | 2 | 1.5 + 0.5(2) = 2.5 |
Então y(1) \approx 2.5. A solução exata é y = 2e^x - x - 1, que dá y(1) = 2e - 2 \approx 3.44. A solução tem concavidade para cima, então o método de Euler subestima.
5. BC: modelo logístico. Para \frac{dP}{dt} = 0.2P\left(1 - \frac{P}{500}\right), a capacidade de suporte é 500 e a população cresce mais rápido quando P = 250.
Como estudar a Unidade 7
- Acrescente C no momento em que integrar. Acrescentá-lo depois de isolar y dá uma família de soluções errada e custa pontos.
- Use a condição inicial logo. Substituir antes de isolar y muitas vezes facilita a álgebra.
- Pratique esboçar campos de direções à mão. A questão dissertativa costuma pedir segmentos em 6 a 9 pontos.
- Ligue com a Unidade 5. As questões muitas vezes perguntam se uma solução tem concavidade para cima em um ponto. Encontre \frac{d^2y}{dx^2} derivando a equação implicitamente.
- Resolva listas de exercícios. Experimente os exercícios de equações diferenciais, cada um com resolução completa.
Para o mapa completo do curso, veja o guia de AP Calculus AB ou o guia de AP Calculus BC.
AP e Advanced Placement são marcas registradas do College Board, que não tem relação com o PracticeCalculus e não endossa este guia. Os nomes e pesos das unidades vêm do referencial curricular do College Board; consulte-o para ver eventuais mudanças.
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Equações diferenciais separáveis
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