AP Calc Einheit 7: Differentialgleichungen (AB und BC)

AP Calculus Einheit 7, Differentialgleichungen (Differential Equations), bringt Ableitungen und Integrale zusammen. Eine Differentialgleichung sagt dir, wie sich eine Größe ändert, etwa \frac{dy}{dx} = xy, und deine Aufgabe ist es, die Größe selbst zu finden. Im Multiple-Choice-Teil ist die Einheit eher klein, aber in den meisten Prüfungen hat sie eine eigene Freitextaufgabe.

Was Einheit 7 umfasst

Das College Board teilt die Einheit in diese Themen. Jede Zeile verlinkt eine Lektion, in der du das Thema jedes Mal mit neuen Zahlen üben kannst.

Die wichtigsten Ideen

Eine Lösung ist eine Funktion, keine Zahl. Um zu prüfen, ob y = Ce^{3x} die Gleichung y' = 3y löst, leitest du ab: y' = 3Ce^{3x} = 3y. Das funktioniert für jedes C, es gibt also eine ganze Schar von Lösungen. Eine Anfangsbedingung wählt eine davon aus.

Richtungsfelder zeigen alle Lösungen auf einmal. Zeichne in jedem Punkt (x, y) eine kurze Strecke mit der Steigung \frac{dy}{dx}. Eine Lösungskurve folgt den Strecken wie ein Blatt der Strömung. Hängt \frac{dy}{dx} nur von x ab, sind die Strecken in derselben Spalte parallel.

Trennung der Variablen löst die Gleichung exakt. Bringe jedes y mit dy auf eine Seite und jedes x mit dx auf die andere, dann integriere beide Seiten.

Exponentielles Wachstum ist eine Differentialgleichung. „Die Änderungsrate von y ist proportional zu y“ bedeutet \frac{dy}{dt} = ky, und die Lösungen sind y = y_0 e^{kt}. Wachstum hat k > 0, Abnahme hat k < 0.

BC: Logistisches Wachstum pendelt sich ein. Bei \frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{L}\right) nähert sich die Population der Kapazitätsgrenze L und wächst am schnellsten bei P = \frac{L}{2}.

Beispielaufgaben

1. Trennung der Variablen. Löse \frac{dy}{dx} = xy mit y(0) = 2. Trennen und integrieren:

Bei (0, 2) ist C = \ln 2. Da y > 0 ist, gilt y = 2e^{x^2/2}.

2. Exponentielle Abnahme. Eine Probe von 100 g hat eine Halbwertszeit von 5 Jahren. Nach 15 Jahren sind drei Halbwertszeiten vergangen, also bleiben 100\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 12.5 g übrig. In der Form y = 100e^{kt} ist k = -\frac{\ln 2}{5}.

3. Ein Richtungsfeld lesen. Für \frac{dy}{dx} = x - y ist die Steigung bei (1, 0) gleich 1 und bei (2, 2) gleich 0. Jeder Punkt auf der Geraden y = x hat eine waagerechte Strecke.

4. BC: Euler-Verfahren. Für \frac{dy}{dx} = x + y mit y(0) = 1 schätzt du y(1) mit zwei Schritten der Weite 0.5:

Also y(1) \approx 2.5. Die exakte Lösung ist y = 2e^x - x - 1 und liefert y(1) = 2e - 2 \approx 3.44. Die Lösung ist linksgekrümmt, deshalb unterschätzt das Euler-Verfahren.

5. BC: Logistisches Modell. Für \frac{dP}{dt} = 0.2P\left(1 - \frac{P}{500}\right) ist die Kapazitätsgrenze 500, und die Population wächst am schnellsten bei P = 250.

So lernst du für Einheit 7

• C sofort beim Integrieren ergänzen. Ergänzt du es erst nach dem Auflösen nach y, erhältst du eine falsche Lösungsschar und verlierst Punkte.
• Die Anfangsbedingung gleich verwenden. Setzt du vor dem Auflösen nach y ein, wird die Rechnung oft einfacher.
• Richtungsfelder von Hand zeichnen üben. Die Freitextaufgabe verlangt meist Strecken in 6 bis 9 Punkten.
• Die Verbindung zu Einheit 5 herstellen. Oft wird gefragt, ob eine Lösung in einem Punkt linksgekrümmt ist. Bestimme \frac{d^2y}{dx^2}, indem du die Gleichung implizit ableitest.
• Aufgabensammlungen durcharbeiten. Probiere die Aufgaben zu Differentialgleichungen, jeweils mit vollständigen Lösungen.

Den Überblick über den ganzen Kurs findest du im Leitfaden zu AP Calculus AB oder im Leitfaden zu AP Calculus BC.

AP und Advanced Placement sind eingetragene Marken des College Board, das nicht mit PracticeCalculus verbunden ist und diesen Leitfaden nicht unterstützt. Die Namen und Gewichtungen der Einheiten stammen aus dem Kursrahmen (Course Framework) des College Board; prüfe dort, ob sich etwas geändert hat.