AP Calculus unidad 7: repaso de ecuaciones diferenciales (AB y BC)
Repaso de la unidad 7 de AP Calculus AB y BC: campos de pendientes, separación de variables, modelos exponenciales y, en BC, método de Euler y modelo logístico.
Unidades de AP Calculus Actualizado 4 min de lectura
De un vistazo
- Peso en el examen AB
- 5–10%
- Peso en el examen BC
- 5–10%
- Ideas clave
- Campos de pendientes, separación de variables, soluciones particulares, modelos exponenciales
- Solo BC
- Método de Euler, modelos logísticos
- Va antes de
- La unidad 8, aplicaciones de la integral
- Practica aquí
- Cálculo 2: ecuaciones diferenciales
La unidad 7 de AP Calculus, ecuaciones diferenciales (Differential Equations), junta derivadas e integrales. Una ecuación diferencial te dice cómo cambia una cantidad, por ejemplo \frac{dy}{dx} = xy, y tu trabajo es hallar la propia cantidad. Es una unidad pequeña en la parte de opción múltiple, pero en la mayoría de los exámenes tiene su propia pregunta de respuesta libre.
| AP Calculus AB | AP Calculus BC | |
|---|---|---|
| Peso en el examen | 5–10% | 5–10% |
| Temas adicionales | ninguno | método de Euler, modelos logísticos |
Qué cubre la unidad 7
College Board divide la unidad en estos temas. Cada fila enlaza a una lección donde puedes practicarlo con números nuevos cada vez.
| Tema | Qué aprendes | Práctica |
|---|---|---|
| Modelizar con ecuaciones diferenciales | Convertir "la tasa es proporcional a" en una ecuación | Crecimiento y decrecimiento |
| Comprobar soluciones | Sustituir una función en la ecuación | Ecuaciones separables |
| Dibujar campos de pendientes | Trazar segmentos cortos con pendiente \frac{dy}{dx} | Campos de pendientes |
| Razonar con campos de pendientes | Asociar campos con ecuaciones y seguir soluciones | Campos de pendientes |
| Método de Euler (BC) | Avanzar por rectas tangentes para estimar una solución | Método de Euler |
| Soluciones generales por separación | Separar variables e integrar | Ecuaciones separables |
| Soluciones particulares | Usar una condición inicial para hallar C | Ecuaciones separables |
| Modelos exponenciales | \frac{dy}{dt} = ky y y = y_0 e^{kt} | Crecimiento y decrecimiento |
| Modelos logísticos (BC) | Crecimiento que se estabiliza en una capacidad de carga | Crecimiento logístico |
Las ideas clave
Una solución es una función, no un número. Para comprobar si y = Ce^{3x} resuelve y' = 3y, deriva: y' = 3Ce^{3x} = 3y. Funciona para cualquier C, así que hay toda una familia de soluciones. Una condición inicial elige una.
Los campos de pendientes muestran todas las soluciones a la vez. En cada punto (x, y), dibuja un segmento corto con pendiente \frac{dy}{dx}. Una curva solución sigue los segmentos como una hoja sigue la corriente. Donde \frac{dy}{dx} depende solo de x, los segmentos de una misma columna son paralelos.
La separación de variables resuelve la ecuación de forma exacta. Pasa cada y a un lado con dy y cada x al otro con dx, y luego integra los dos lados.
El crecimiento exponencial es una ecuación diferencial. "La tasa de cambio de y es proporcional a y" significa \frac{dy}{dt} = ky, y sus soluciones son y = y_0 e^{kt}. El crecimiento tiene k > 0 y el decrecimiento k < 0.
BC: el crecimiento logístico se estabiliza. En \frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{L}\right), la población se acerca a la capacidad de carga L y crece más rápido cuando P = \frac{L}{2}.
Preguntas de ejemplo
1. Separación de variables. Resuelve \frac{dy}{dx} = xy con y(0) = 2. Separa e integra:
En (0, 2), C = \ln 2. Como y > 0, y = 2e^{x^2/2}.
2. Decrecimiento exponencial. Una muestra de 100 g tiene un periodo de semidesintegración de 5 años. Al cabo de 15 años han pasado tres periodos, así que quedan 100\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 12.5 g. En la forma y = 100e^{kt}, k = -\frac{\ln 2}{5}.
3. Leer un campo de pendientes. Para \frac{dy}{dx} = x - y, la pendiente en (1, 0) es 1 y la pendiente en (2, 2) es 0. Todos los puntos de la recta y = x tienen un segmento horizontal.
4. BC: método de Euler. Para \frac{dy}{dx} = x + y con y(0) = 1, usa dos pasos de tamaño 0.5 para estimar y(1):
| Punto | Pendiente x + y | Siguiente y |
|---|---|---|
| (0, 1) | 1 | 1 + 0.5(1) = 1.5 |
| (0.5, 1.5) | 2 | 1.5 + 0.5(2) = 2.5 |
Así que y(1) \approx 2.5. La solución exacta es y = 2e^x - x - 1, que da y(1) = 2e - 2 \approx 3.44. La solución es cóncava hacia arriba, así que el método de Euler da una estimación por defecto.
5. BC: modelo logístico. Para \frac{dP}{dt} = 0.2P\left(1 - \frac{P}{500}\right), la capacidad de carga es 500 y la población crece más rápido cuando P = 250.
Cómo estudiar la unidad 7
- Añade C en cuanto integres. Añadirla después de despejar y da una familia de soluciones incorrecta y cuesta puntos.
- Usa la condición inicial enseguida. Sustituir antes de despejar y suele simplificar el álgebra.
- Practica a mano los campos de pendientes. La pregunta de respuesta libre suele pedir dibujar segmentos en 6 a 9 puntos.
- Relaciónalo con la unidad 5. A menudo se pregunta si una solución es cóncava hacia arriba en un punto. Halla \frac{d^2y}{dx^2} derivando la ecuación de forma implícita.
- Resuelve colecciones de ejercicios. Prueba los ejercicios de ecuaciones diferenciales, todos con soluciones completas.
Para ver el mapa completo del curso, consulta la guía de AP Calculus AB o la guía de AP Calculus BC.
AP y Advanced Placement son marcas registradas de College Board, que no está afiliado a PracticeCalculus ni respalda esta guía. Los nombres y pesos de las unidades provienen del marco del curso de College Board; consúltalo por si hay cambios.
Practícalo ahora
Ecuaciones diferenciales separables
Resuelve problemas reales de este tema con corrección al instante, pistas y una solución paso a paso para cada respuesta. Gratis y sin registro para empezar.
Practicar esta lección