AP Calculus unité 7 : révision des équations différentielles
Révision de l'unité 7 d'AP Calculus AB et BC : champs de directions, séparation des variables, modèles exponentiels, méthode d'Euler et logistique (BC).
Unités d'AP Calculus Mis à jour Lecture : 4 min
En bref
- Poids à l'examen AB
- 5–10 %
- Poids à l'examen BC
- 5–10 %
- Idées clés
- Champs de directions, séparation des variables, solutions particulières, modèles exponentiels
- BC uniquement
- Méthode d'Euler, modèles logistiques
- Avant
- L'unité 8, les applications de l'intégration
- S'entraîner ici
- Analyse 2 : équations différentielles
Sur cette page
L'unité 7 d'AP Calculus, équations différentielles (Differential Equations), réunit dérivées et intégrales. Une équation différentielle indique comment une grandeur varie, comme \frac{dy}{dx} = xy, et votre travail consiste à retrouver la grandeur elle-même. C'est une petite unité dans le QCM, mais elle a sa propre question à réponse rédigée dans la plupart des examens.
| AP Calculus AB | AP Calculus BC | |
|---|---|---|
| Poids à l'examen | 5–10 % | 5–10 % |
| Notions en plus | aucune | méthode d'Euler, modèles logistiques |
Ce que couvre l'unité 7
Le College Board découpe l'unité en ces notions. Chaque ligne renvoie à une leçon où vous pouvez vous entraîner avec de nouveaux nombres à chaque fois.
| Notion | Ce que vous apprenez | Entraînement |
|---|---|---|
| Modéliser avec des équations différentielles | Traduire « le taux est proportionnel à » en équation | Croissance et décroissance |
| Vérifier des solutions | Remplacer une fonction dans l'équation | Équations à variables séparables |
| Tracer des champs de directions | Dessiner de petits segments de pente \frac{dy}{dx} | Champs de directions |
| Raisonner avec des champs de directions | Associer des champs à des équations et suivre des solutions | Champs de directions |
| Méthode d'Euler (BC) | Avancer le long de tangentes pour estimer une solution | Méthode d'Euler |
| Solutions générales par séparation | Séparer les variables et intégrer | Équations à variables séparables |
| Solutions particulières | Utiliser une condition initiale pour trouver C | Équations à variables séparables |
| Modèles exponentiels | \frac{dy}{dt} = ky et y = y_0 e^{kt} | Croissance et décroissance |
| Modèles logistiques (BC) | Une croissance qui se stabilise à une capacité limite | Croissance logistique |
Les idées clés
Une solution est une fonction, pas un nombre. Pour vérifier si y = Ce^{3x} est solution de y' = 3y, dérivez : y' = 3Ce^{3x} = 3y. Cela marche pour tout C, donc il existe toute une famille de solutions. Une condition initiale en choisit une.
Les champs de directions montrent toutes les solutions à la fois. En chaque point (x, y), tracez un petit segment de pente \frac{dy}{dx}. Une courbe solution suit les segments comme une feuille suit le courant. Quand \frac{dy}{dx} ne dépend que de x, les segments d'une même colonne sont parallèles.
La séparation des variables résout l'équation exactement. Placez tous les y d'un côté avec dy et tous les x de l'autre avec dx, puis intégrez les deux membres.
La croissance exponentielle est une équation différentielle. « Le taux de variation de y est proportionnel à y » signifie \frac{dy}{dt} = ky, et ses solutions sont y = y_0 e^{kt}. La croissance correspond à k > 0, la décroissance à k < 0.
BC : la croissance logistique se stabilise. Dans \frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{L}\right), la population tend vers la capacité limite L et croît le plus vite quand P = \frac{L}{2}.
Exemples de questions
1. Séparation des variables. Résolvez \frac{dy}{dx} = xy avec y(0) = 2. Séparez et intégrez :
En (0, 2), C = \ln 2. Comme y > 0, y = 2e^{x^2/2}.
2. Décroissance exponentielle. Un échantillon de 100 g a une demi-vie de 5 ans. Après 15 ans, trois demi-vies se sont écoulées, donc il reste 100\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 12.5 g. Sous la forme y = 100e^{kt}, k = -\frac{\ln 2}{5}.
3. Lire un champ de directions. Pour \frac{dy}{dx} = x - y, la pente en (1, 0) vaut 1 et la pente en (2, 2) vaut 0. Tous les points de la droite y = x ont un segment horizontal.
4. BC : méthode d'Euler. Pour \frac{dy}{dx} = x + y avec y(0) = 1, utilisez deux pas de 0.5 pour estimer y(1) :
| Point | Pente x + y | y suivant |
|---|---|---|
| (0, 1) | 1 | 1 + 0.5(1) = 1.5 |
| (0.5, 1.5) | 2 | 1.5 + 0.5(2) = 2.5 |
Donc y(1) \approx 2.5. La solution exacte est y = 2e^x - x - 1, ce qui donne y(1) = 2e - 2 \approx 3.44. La solution est convexe, donc la méthode d'Euler sous-estime.
5. BC : modèle logistique. Pour \frac{dP}{dt} = 0.2P\left(1 - \frac{P}{500}\right), la capacité limite vaut 500 et la population croît le plus vite quand P = 250.
Comment réviser l'unité 7
- Ajoutez C dès que vous intégrez. L'ajouter après avoir isolé y donne une mauvaise famille de solutions et fait perdre des points.
- Utilisez tout de suite la condition initiale. Remplacer avant d'isoler y simplifie souvent les calculs.
- Entraînez-vous à tracer des champs de directions à la main. La question à réponse rédigée demande en général de tracer des segments en 6 à 9 points.
- Faites le lien avec l'unité 5. Les questions demandent souvent si une solution est convexe en un point. Trouvez \frac{d^2y}{dx^2} en dérivant l'équation de façon implicite.
- Travaillez des séries d'exercices. Essayez les exercices sur les équations différentielles, tous avec solutions complètes.
Pour le plan complet du cours, consultez le guide AP Calculus AB ou le guide AP Calculus BC.
AP et Advanced Placement sont des marques déposées du College Board, qui n'est pas affilié à PracticeCalculus et ne cautionne pas ce guide. Les noms et les poids des unités proviennent du cadre de cours du College Board ; consultez-le pour toute modification.
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