Derivada da raiz cúbica de x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada da raiz cúbica de x é 1/(3∛(x²)). Veja as demonstrações pela regra da potência e por limite, a tangente vertical em 0 e a regra da cadeia.
Potências, raízes e polinômios Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} para x \ne 0
- Como potência
- \dfrac{d}{dx}\,x^{1/3} = \tfrac{1}{3}x^{-2/3}
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{u} = \dfrac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}
- Em x = 0
- Não é diferenciável, a tangente é vertical
- Domínio
- Todos os números reais, ao contrário de \sqrt{x}
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A derivada de \sqrt[3]{x} é \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}, para todo x \ne 0. Escreva a raiz cúbica como a potência x^{1/3} e a regra da potência faz o resto.
Gráfico de ∛x e de sua derivada
Observe que a derivada é a mesma em x = 1 e em x = -1. Como x^2 é igual para x e -x, a derivada é uma função par.
Demonstração pela regra da potência
Usando a regra da potência com n = \frac{1}{3}:
Um expoente negativo leva a potência para o denominador, e x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}.
Demonstração pela definição de limite
Sejam a = \sqrt[3]{x + h} e b = \sqrt[3]{x}. Então a^3 - b^3 = h. A diferença de cubos a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) dá
Quando h \to 0, a \to b, então o limite é \frac{1}{3b^2} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}. Isso exige b \ne 0, e é exatamente por isso que x = 0 falha.
Por que a derivada falha em 0
Em x = 0 o quociente de Newton é \frac{\sqrt[3]{h}}{h} = h^{-2/3}, que vai para +\infty pelos dois lados. A curva é contínua, mas tem tangente vertical, um exemplo clássico de função contínua que não é diferenciável.
Regra da cadeia e outras raízes
Para a raiz cúbica de uma expressão, a regra da cadeia dá
Exemplo 1. \frac{d}{dx}\sqrt[3]{5x - 1} = \frac{5}{3\sqrt[3]{(5x - 1)^2}}.
Exemplo 2. \frac{d}{dx}\,6\sqrt[3]{x} = 6 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} = 2x^{-2/3}.
Exemplo 3. Qualquer raiz funciona do mesmo jeito: \frac{d}{dx}\sqrt[n]{x} = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n} - 1}. Para n = 4 isso é \frac{1}{4}x^{-3/4}.
Exemplo 4: uma reta tangente. Em x = 8, \sqrt[3]{8} = 2 e a inclinação é \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}. Assim, \sqrt[3]{9} \approx 2 + \frac{1}{12} \approx 2.083. O valor exato é cerca de 2.080.
Erros comuns
- Escrever x^{-1/3}. O novo expoente é \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}.
- Colocar o 3 no lugar errado. A resposta é \frac{1}{3}x^{-2/3}, não 3x^{-2/3}.
- Achar que x negativo está proibido. Raízes cúbicas de números negativos são reais, então a derivada existe para todo x exceto 0.
Compare com a derivada de √x, que só está definida para x > 0.
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A regra da potência
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