Derivada de la raíz cúbica de x: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de la raíz cúbica de x es 1/(3∛(x²)). Demostración con la regla de la potencia y con límites, la tangente vertical en 0 y la regla de la cadena.
Potencias, raíces y polinomios Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} para x \ne 0
- Como potencia
- \dfrac{d}{dx}\,x^{1/3} = \tfrac{1}{3}x^{-2/3}
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{u} = \dfrac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}
- En x = 0
- No es derivable, la tangente es vertical
- Dominio
- Todos los números reales, a diferencia de \sqrt{x}
En esta página
La derivada de \sqrt[3]{x} es \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}, para todo x \ne 0. Escribe la raíz cúbica como la potencia x^{1/3} y la regla de la potencia hace el resto.
Gráfica de ∛x y de su derivada
Fíjate en que la derivada es la misma en x = 1 y en x = -1. Como x^2 es igual para x y para -x, la derivada es una función par.
Demostración con la regla de la potencia
Usando la regla de la potencia con n = \frac{1}{3}:
Un exponente negativo pasa la potencia al denominador, y x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}.
Demostración con la definición de límite
Sean a = \sqrt[3]{x + h} y b = \sqrt[3]{x}. Entonces a^3 - b^3 = h. La diferencia de cubos a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) da
Cuando h \to 0, a \to b, así que el límite es \frac{1}{3b^2} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}. Esto requiere b \ne 0, que es justo por lo que falla en x = 0.
Por qué la derivada no existe en 0
En x = 0 el cociente incremental es \frac{\sqrt[3]{h}}{h} = h^{-2/3}, que tiende a +\infty por ambos lados. La curva es continua pero tiene una tangente vertical, un ejemplo clásico de función continua pero no derivable.
Regla de la cadena y otras raíces
Para la raíz cúbica de una expresión, la regla de la cadena da
Ejemplo 1. \frac{d}{dx}\sqrt[3]{5x - 1} = \frac{5}{3\sqrt[3]{(5x - 1)^2}}.
Ejemplo 2. \frac{d}{dx}\,6\sqrt[3]{x} = 6 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} = 2x^{-2/3}.
Ejemplo 3. Cualquier raíz funciona igual: \frac{d}{dx}\sqrt[n]{x} = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n} - 1}. Para n = 4 esto es \frac{1}{4}x^{-3/4}.
Ejemplo 4: una recta tangente. En x = 8, \sqrt[3]{8} = 2 y la pendiente es \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}. Así que \sqrt[3]{9} \approx 2 + \frac{1}{12} \approx 2.083. El valor real es aproximadamente 2.080.
Errores comunes
- Escribir x^{-1/3}. El nuevo exponente es \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}.
- Poner el 3 en el lugar equivocado. El resultado es \frac{1}{3}x^{-2/3}, no 3x^{-2/3}.
- Suponer que los x negativos están prohibidos. Las raíces cúbicas de números negativos son reales, así que la derivada existe para todo x salvo 0.
Compárala con la derivada de √x, que solo está definida para x > 0.
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