Derivada de cos x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de cos x é -sen x. Veja a demonstração por limite, uma demonstração rápida a partir do sen x, a regra da cadeia para cos(u) e exemplos.
Derivadas trigonométricas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- -\sin x para todo x real
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\cos u = -\sin u \cdot u'
- Derivada segunda
- -\cos x
- Unidades
- x precisa estar em radianos
- Versão para integrais
- \int \cos x\,dx = \sin x + C
Nesta página
A derivada de \cos x é -\sin x. O cosseno começa no seu pico em x = 0 e desce, então sua inclinação para x positivo pequeno é negativa, o que confere com -\sin x < 0.
Gráfico de cos x e de sua derivada
Demonstração pela definição de limite
A fórmula do cosseno da soma dá \cos(x + h) = \cos x\cos h - \sin x\sin h. Então
Com \frac{\cos h - 1}{h} \to 0 e \frac{\sin h}{h} \to 1:
Uma demonstração mais rápida usando sen x
Escreva \cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right). Então, pela regra da cadeia e pela derivada de sen x:
usando \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x. O -1 da função de dentro é de onde vem o sinal de menos.
A versão com a regra da cadeia: derivada de cos(u)
| Função | Função de dentro u | Derivada |
|---|---|---|
| \cos(5x) | 5x | -5\sin(5x) |
| \cos(x^3) | x^3 | -3x^2\sin(x^3) |
| \cos(1 - x) | 1 - x | \sin(1 - x) |
| \cos(\ln x) | \ln x | -\frac{\sin(\ln x)}{x} |
Na terceira linha dois sinais de menos se cancelam.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: um produto. \frac{d}{dx}\left(e^x\cos x\right) = e^x\cos x - e^x\sin x = e^x(\cos x - \sin x), pela regra do produto.
Exemplo 2: um quociente. \frac{d}{dx}\frac{\cos x}{x} = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2}, pela regra do quociente.
Exemplo 3: movimento. A posição de uma mola é s(t) = 4\cos(2t). Sua velocidade é v(t) = -8\sin(2t) e sua aceleração é a(t) = -16\cos(2t) = -4s(t). A aceleração sempre aponta de volta para o centro.
Exemplo 4: uma tangente horizontal. \frac{d}{dx}(x + 2\cos x) = 1 - 2\sin x. Ela vale 0 quando \sin x = \frac{1}{2}, ou seja, em x = \frac{\pi}{6} e x = \frac{5\pi}{6} no intervalo [0, 2\pi).
Como lembrar o sinal
Imagine o círculo trigonométrico. O cosseno é a coordenada horizontal. Quando o ângulo cresce a partir de 0, o ponto se move para cima e para a esquerda, então a coordenada horizontal diminui. Uma grandeza que diminui tem taxa de variação negativa, e é por isso que a derivada é -\sin x e não +\sin x.
Erros comuns
- Esquecer o sinal de menos. Este é o erro mais comum nas derivadas trigonométricas. Lembre: funções com "co" levam um menos.
- Confusão com dois sinais de menos. \frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x, positivo.
- Esquecer o u'. \frac{d}{dx}\cos(4x) = -4\sin(4x), não -\sin(4x).
O caminho inverso está na página da integral de cos x. A página da função cosseno mostra seu gráfico e seus valores principais.
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Seno, cosseno e tangente
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