Derivada de cos x: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de cos x es -sen x. Demostración por límites, una demostración rápida a partir de sen x, regla de la cadena para cos(u) y ejemplos como cos(5x).
Derivadas trigonométricas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- -\sin x para todo x real
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\cos u = -\sin u \cdot u'
- Segunda derivada
- -\cos x
- Unidades
- x tiene que estar en radianes
- Versión para integrales
- \int \cos x\,dx = \sin x + C
En esta página
La derivada de \cos x es -\sin x. El coseno empieza en su máximo en x = 0 y va bajando, así que su pendiente para x positivo pequeño es negativa, lo que coincide con -\sin x < 0.
Gráfica de cos x y de su derivada
Demostración con la definición de límite
La fórmula del coseno de una suma da \cos(x + h) = \cos x\cos h - \sin x\sin h. Así que
Con \frac{\cos h - 1}{h} \to 0 y \frac{\sin h}{h} \to 1:
Una demostración más rápida a partir de sen x
Escribe \cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right). Entonces, por la regla de la cadena y la derivada de sen x:
usando \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x. El -1 del interior es de donde sale el signo menos.
La versión con la regla de la cadena: derivada de cos(u)
| Función | Interior u | Derivada |
|---|---|---|
| \cos(5x) | 5x | -5\sin(5x) |
| \cos(x^3) | x^3 | -3x^2\sin(x^3) |
| \cos(1 - x) | 1 - x | \sin(1 - x) |
| \cos(\ln x) | \ln x | -\frac{\sin(\ln x)}{x} |
En la tercera fila se cancelan dos signos menos.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: un producto. \frac{d}{dx}\left(e^x\cos x\right) = e^x\cos x - e^x\sin x = e^x(\cos x - \sin x), por la regla del producto.
Ejemplo 2: un cociente. \frac{d}{dx}\frac{\cos x}{x} = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2}, por la regla del cociente.
Ejemplo 3: movimiento. La posición de un muelle es s(t) = 4\cos(2t). Su velocidad es v(t) = -8\sin(2t) y su aceleración es a(t) = -16\cos(2t) = -4s(t). La aceleración siempre apunta de vuelta hacia el centro.
Ejemplo 4: una tangente horizontal. \frac{d}{dx}(x + 2\cos x) = 1 - 2\sin x. Vale 0 cuando \sin x = \frac{1}{2}, es decir, en x = \frac{\pi}{6} y x = \frac{5\pi}{6} dentro de [0, 2\pi).
Cómo recordar el signo
Imagina la circunferencia unidad. El coseno es la coordenada horizontal. Cuando el ángulo crece desde 0, el punto se mueve hacia arriba y hacia la izquierda, así que la coordenada horizontal disminuye. Una magnitud que disminuye tiene una tasa de cambio negativa, y por eso la derivada es -\sin x y no +\sin x.
Errores comunes
- Olvidar el signo menos. Es el error más común con derivadas trigonométricas. Recuerda: las funciones "co" llevan un menos.
- Liarse con el doble signo menos. \frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x, positiva.
- Olvidar u'. \frac{d}{dx}\cos(4x) = -4\sin(4x), no -\sin(4x).
La operación inversa está en la página de la integral de cos x. La página de la función coseno trata su gráfica y sus valores clave.
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Seno, coseno y tangente
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