Derivada de cossec x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de cossec x é -cossec x cotg x. Veja a demonstração a partir de 1/sen x, a regra da cadeia para cossec(u), o gráfico e exemplos resolvidos.
Derivadas trigonométricas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- -\csc x\cot x para x \ne k\pi
- Em seno e cosseno
- -\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\csc u = -\csc u\cot u \cdot u'
- Inclinação em x = π/2
- -\csc\frac{\pi}{2}\cot\frac{\pi}{2} = 0
- Versão para integrais
- \int \csc x\cot x\,dx = -\csc x + C
Nesta página
A derivada de \csc x é -\csc x\cot x. A cossecante é \frac{1}{\sin x} e, como toda função trigonométrica com "co", sua derivada leva um sinal de menos.
Gráfico de cossec x e de sua derivada
Demonstração pela regra da cadeia
Escreva \csc x = (\sin x)^{-1}. Com a regra da cadeia:
Separe a fração:
Este é um caso particular do padrão da derivada de 1/x, \frac{d}{dx}\frac{1}{u} = -\frac{u'}{u^2}, com u = \sin x.
Um padrão que vale a pena conhecer
As seis derivadas trigonométricas vêm em pares. Troque cada função pela sua parceira "co" e inverta o sinal:
| Função | Derivada | Parceira | Derivada |
|---|---|---|---|
| \sin x | \cos x | \cos x | -\sin x |
| \tan x | \sec^2 x | \cot x | -\csc^2 x |
| \sec x | \sec x\tan x | \csc x | -\csc x\cot x |
Então, se você lembra a derivada de sec x, ganha a de \csc x de graça.
A versão com a regra da cadeia: derivada de cossec(u)
Exemplo 1. \frac{d}{dx}\csc(3x) = -3\csc(3x)\cot(3x).
Exemplo 2. \frac{d}{dx}\csc(x^2) = -2x\csc(x^2)\cot(x^2).
Exemplo 3. \frac{d}{dx}\csc\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{1}{2}\csc\frac{x}{2}\cot\frac{x}{2}.
Mais exemplos resolvidos
Exemplo 4: um produto. \frac{d}{dx}(x^2\csc x) = 2x\csc x - x^2\csc x\cot x.
Exemplo 5: uma potência. \frac{d}{dx}\csc^2 x = 2\csc x\cdot(-\csc x\cot x) = -2\csc^2 x\cot x.
Exemplo 6: um valor. Em x = \frac{\pi}{6}, \csc\frac{\pi}{6} = 2 e \cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}, então a inclinação é -2\sqrt{3} \approx -3.46. A curva está descendo de forma acentuada ali, o que confere com o gráfico.
Como ler o gráfico
Cada ramo da cossecante tem forma de U, acima ou abaixo do eixo. No ramo de cima, entre 0 e \pi, a curva desce na metade esquerda e sobe na metade direita, com o ponto mais baixo em x = \frac{\pi}{2}. A derivada conta a mesma história: negativa à esquerda, zero no fundo, positiva à direita. Perto das assíntotas em 0 e \pi a curva é quase vertical, então a derivada cresce sem limite em valor absoluto ali. Ter essa imagem em mente é uma forma rápida de conferir o sinal de qualquer resposta que você calcular.
Erros comuns
- Esquecer o sinal de menos. A regra do "co": \cos, \cot e \csc têm todas derivadas negativas.
- Escrever -\cot^2 x ou -\csc^2 x. -\csc^2 x é a derivada de \cot x. A derivada de \csc x é -\csc x\cot x.
- Confundir o inverso. \csc x = \frac{1}{\sin x}, não \frac{1}{\cos x}.
O lado das integrais está na página da integral de cossec x. Para praticar mais, tente os exercícios de derivadas trigonométricas.
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