Dérivée de csc x : formule, démonstration et exemples
La dérivée de csc x est -csc x cot x. Démonstration à partir de 1/sin x, version composée pour csc(u), courbe et exemples corrigés comme csc(3x).
Dérivées trigonométriques Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée
- -\csc x\cot x pour x \ne k\pi
- Avec sin et cos
- -\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}
- Forme composée
- \dfrac{d}{dx}\csc u = -\csc u\cot u \cdot u'
- Pente en x = π/2
- -\csc\frac{\pi}{2}\cot\frac{\pi}{2} = 0
- Version intégrale
- \int \csc x\cot x\,dx = -\csc x + C
Sur cette page
La dérivée de \csc x est -\csc x\cot x. La cosécante vaut \frac{1}{\sin x} et, comme toute fonction trigonométrique en « co », sa dérivée porte un signe moins.
Courbe de csc x et de sa dérivée
Démonstration par la règle de dérivation en chaîne
Écrivons \csc x = (\sin x)^{-1}. Avec la règle de dérivation en chaîne :
On sépare la fraction :
C'est un cas particulier du schéma de la dérivée de 1/x, \frac{d}{dx}\frac{1}{u} = -\frac{u'}{u^2}, avec u = \sin x.
Un schéma à connaître
Les six dérivées trigonométriques vont par paires. On remplace chaque fonction par sa partenaire en « co » et on change le signe :
| Fonction | Dérivée | Partenaire | Dérivée |
|---|---|---|---|
| \sin x | \cos x | \cos x | -\sin x |
| \tan x | \sec^2 x | \cot x | -\csc^2 x |
| \sec x | \sec x\tan x | \csc x | -\csc x\cot x |
Si vous connaissez la dérivée de sec x, vous obtenez donc celle de \csc x gratuitement.
La version composée : dérivée de csc(u)
Exemple 1. \frac{d}{dx}\csc(3x) = -3\csc(3x)\cot(3x).
Exemple 2. \frac{d}{dx}\csc(x^2) = -2x\csc(x^2)\cot(x^2).
Exemple 3. \frac{d}{dx}\csc\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{1}{2}\csc\frac{x}{2}\cot\frac{x}{2}.
Autres exemples corrigés
Exemple 4 : un produit. \frac{d}{dx}(x^2\csc x) = 2x\csc x - x^2\csc x\cot x.
Exemple 5 : une puissance. \frac{d}{dx}\csc^2 x = 2\csc x\cdot(-\csc x\cot x) = -2\csc^2 x\cot x.
Exemple 6 : une valeur. En x = \frac{\pi}{6}, \csc\frac{\pi}{6} = 2 et \cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}, donc la pente vaut -2\sqrt{3} \approx -3.46. La courbe y descend fortement, ce qui correspond au graphique.
Comment lire la courbe
Chaque branche de la cosécante a la forme d'un U situé au-dessus ou au-dessous de l'axe. Sur la branche supérieure entre 0 et \pi, la courbe descend sur la moitié gauche et monte sur la moitié droite, avec son point le plus bas en x = \frac{\pi}{2}. La dérivée raconte la même histoire : négative à gauche, nulle en bas, positive à droite. Près des asymptotes en 0 et \pi, la courbe est presque verticale, donc la dérivée y devient très grande en valeur absolue. Garder cette image en tête permet de vérifier rapidement le signe de tout résultat calculé.
Erreurs fréquentes
- Oublier le signe moins. La règle des « co » : \cos, \cot et \csc ont toutes des dérivées négatives.
- Écrire -\cot^2 x ou -\csc^2 x. -\csc^2 x est la dérivée de \cot x. La dérivée de \csc x est -\csc x\cot x.
- Se tromper d'inverse. \csc x = \frac{1}{\sin x}, et non \frac{1}{\cos x}.
Le côté intégrale est traité sur la page intégrale de csc x. Pour vous entraîner davantage, faites les exercices de dérivées trigonométriques.
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