Derivada de cotg x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de cotg x é -cossec²x. Veja a demonstração pela regra do quociente, a forma -(1 + cotg²x), a regra da cadeia para cotg(u) e exemplos.
Derivadas trigonométricas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- -\csc^2 x para x \ne k\pi
- Outras formas
- -\dfrac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\cot u = -\csc^2 u \cdot u'
- Inclinação em x = π/2
- -\csc^2\frac{\pi}{2} = -1
- Versão para integrais
- \int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C
Nesta página
A derivada de \cot x é -\csc^2 x. Ela é a parceira "co" de \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x: troque pelas cofunções e acrescente um sinal de menos.
Gráfico de cotg x e de sua derivada
Demonstração pela regra do quociente
Escreva \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} e use a regra do quociente:
O numerador é -1, então
Uma segunda demonstração a partir de tg x
Como \cot x = (\tan x)^{-1}, a regra da cadeia e a derivada de tg x dão
Mesmo resultado. A identidade \csc^2 x = 1 + \cot^2 x também permite escrever a resposta como -(1 + \cot^2 x).
A versão com a regra da cadeia: derivada de cotg(u)
| Função | Função de dentro u | Derivada |
|---|---|---|
| \cot(2x) | 2x | -2\csc^2(2x) |
| \cot(x^3) | x^3 | -3x^2\csc^2(x^3) |
| \cot\sqrt{x} | \sqrt{x} | -\frac{\csc^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} |
| \cot(\pi - x) | \pi - x | \csc^2(\pi - x) |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: uma potência. \frac{d}{dx}\cot^2 x = 2\cot x\cdot(-\csc^2 x) = -2\cot x\csc^2 x.
Exemplo 2: um produto. \frac{d}{dx}(x\cot x) = \cot x - x\csc^2 x.
Exemplo 3: um valor. Em x = \frac{\pi}{4}, \csc\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}, então a inclinação é -(\sqrt{2})^2 = -2. A reta tangente por \left(\frac{\pi}{4}, 1\right) é y = 1 - 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right).
Exemplo 4: o logaritmo do seno. \frac{d}{dx}\ln(\sin x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x. Derivando de novo obtemos -\csc^2 x. É por isso que \int\cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C, veja a integral de cotg x.
Como memorizar
Associe \cot x a \tan x. A derivada da tangente é \sec^2 x. Troque cada função pela sua parceira "co", tangente por cotangente e secante por cossecante, e coloque um sinal de menos na frente. Isso dá -\csc^2 x sem precisar de demonstração. A mesma troca funciona para todos os pares de derivadas trigonométricas, então você só precisa decorar três dos seis resultados. Uma conferência rápida no gráfico confirma o sinal: cada ramo da cotangente desce da esquerda para a direita, então sua inclinação é sempre negativa. A inclinação fica mais acentuada perto das assíntotas nos múltiplos de \pi, onde \csc^2 x explode.
Erros comuns
- Esquecer o sinal de menos. A cotangente é sempre decrescente, então sua derivada tem de ser negativa.
- Escrever -\csc x\cot x. Essa é a derivada de cossec x, um resultado diferente.
- Escrever -\sec^2 x. O quadrado vai na cossecante, a parceira da secante.
Para a família inteira em um só lugar, leia derivadas das funções trigonométricas.
Pratique agora
Seno, cosseno e tangente
Resolva problemas reais sobre este tópico com feedback instantâneo, dicas e uma resolução passo a passo para cada resposta. Grátis, sem cadastro para começar.
Praticar esta lição