Derivada de cot x: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de cot x es -csc²x. Demostración con la regla del cociente, la forma -(1 + cot²x), regla de la cadena para cot(u) y ejemplos como cot(2x).
Derivadas trigonométricas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- -\csc^2 x para x \ne k\pi
- Otras formas
- -\dfrac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\cot u = -\csc^2 u \cdot u'
- Pendiente en x = π/2
- -\csc^2\frac{\pi}{2} = -1
- Versión para integrales
- \int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C
En esta página
La derivada de \cot x es -\csc^2 x. Es la pareja "co" de \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x: cambia a las cofunciones y añade un signo menos.
Gráfica de cot x y de su derivada
Demostración con la regla del cociente
Escribe \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} y usa la regla del cociente:
El numerador vale -1, así que
Una segunda demostración a partir de tan x
Como \cot x = (\tan x)^{-1}, la regla de la cadena y la derivada de tan x dan
El mismo resultado. La identidad \csc^2 x = 1 + \cot^2 x también permite escribir el resultado como -(1 + \cot^2 x).
La versión con la regla de la cadena: derivada de cot(u)
| Función | Interior u | Derivada |
|---|---|---|
| \cot(2x) | 2x | -2\csc^2(2x) |
| \cot(x^3) | x^3 | -3x^2\csc^2(x^3) |
| \cot\sqrt{x} | \sqrt{x} | -\frac{\csc^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} |
| \cot(\pi - x) | \pi - x | \csc^2(\pi - x) |
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: una potencia. \frac{d}{dx}\cot^2 x = 2\cot x\cdot(-\csc^2 x) = -2\cot x\csc^2 x.
Ejemplo 2: un producto. \frac{d}{dx}(x\cot x) = \cot x - x\csc^2 x.
Ejemplo 3: un valor. En x = \frac{\pi}{4}, \csc\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}, así que la pendiente es -(\sqrt{2})^2 = -2. La recta tangente que pasa por \left(\frac{\pi}{4}, 1\right) es y = 1 - 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right).
Ejemplo 4: el logaritmo del seno. \frac{d}{dx}\ln(\sin x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x. Al derivar de nuevo se obtiene -\csc^2 x. Por eso \int\cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C; consulta la integral de cot x.
Cómo recordarla
Empareja \cot x con \tan x. La derivada de la tangente es \sec^2 x. Cambia cada función por su pareja "co", tangente por cotangente y secante por cosecante, y pon un signo menos delante. Así obtienes -\csc^2 x sin necesidad de demostración. El mismo cambio funciona con cada pareja de derivadas trigonométricas, así que solo tienes que memorizar tres de los seis resultados. Una comprobación rápida con la gráfica confirma el signo: cada rama de la cotangente baja de izquierda a derecha, así que su pendiente siempre tiene que ser negativa. La inclinación aumenta cerca de las asíntotas en los múltiplos de \pi, donde \csc^2 x se dispara.
Errores comunes
- Olvidar el signo menos. La cotangente siempre decrece, así que su derivada tiene que ser negativa.
- Escribir -\csc x\cot x. Esa es la derivada de csc x, un resultado distinto.
- Escribir -\sec^2 x. El cuadrado va en la cosecante, la pareja de la secante.
Para ver toda la familia en un solo lugar, lee derivadas de funciones trigonométricas.
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