Ableitung von cot x: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von cot x ist -csc²x. Mit Beweis über die Quotientenregel, der Form -(1 + cot²x), der Kettenregel für cot(u) und Beispielen wie cot(2x).
Ableitungen trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- -\csc^2 x für x \ne k\pi
- Andere Formen
- -\dfrac{1}{\sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}\cot u = -\csc^2 u \cdot u'
- Steigung bei x = π/2
- -\csc^2\frac{\pi}{2} = -1
- Als Integral
- \int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C
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Die Ableitung von \cot x ist -\csc^2 x. Sie ist das "Ko"-Gegenstück zu \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x: Tausche zu den Kofunktionen und setze ein Minuszeichen davor.
Graph von cot x und seiner Ableitung
Beweis mit der Quotientenregel
Schreibe \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} und nutze die Quotientenregel:
Der Zähler ist -1, also gilt
Ein zweiter Beweis über tan x
Wegen \cot x = (\tan x)^{-1} liefern die Kettenregel und die Ableitung von tan x
Gleiches Ergebnis. Mit der Identität \csc^2 x = 1 + \cot^2 x kannst du das Ergebnis auch als -(1 + \cot^2 x) schreiben.
Mit der Kettenregel: Ableitung von cot(u)
| Funktion | Innere Funktion u | Ableitung |
|---|---|---|
| \cot(2x) | 2x | -2\csc^2(2x) |
| \cot(x^3) | x^3 | -3x^2\csc^2(x^3) |
| \cot\sqrt{x} | \sqrt{x} | -\frac{\csc^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} |
| \cot(\pi - x) | \pi - x | \csc^2(\pi - x) |
Rechenbeispiele
Beispiel 1: eine Potenz. \frac{d}{dx}\cot^2 x = 2\cot x\cdot(-\csc^2 x) = -2\cot x\csc^2 x.
Beispiel 2: ein Produkt. \frac{d}{dx}(x\cot x) = \cot x - x\csc^2 x.
Beispiel 3: ein Wert. Bei x = \frac{\pi}{4} ist \csc\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}, die Steigung ist also -(\sqrt{2})^2 = -2. Die Tangente durch \left(\frac{\pi}{4}, 1\right) lautet y = 1 - 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right).
Beispiel 4: der Logarithmus des Sinus. \frac{d}{dx}\ln(\sin x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x. Leitest du noch einmal ab, erhältst du -\csc^2 x. Deshalb gilt \int\cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C, siehe das Integral von cot x.
So merkst du es dir
Stell \cot x neben \tan x. Die Ableitung des Tangens ist \sec^2 x. Tausche jede Funktion gegen ihr "Ko"-Gegenstück, Tangens gegen Kotangens und Sekans gegen Kosekans, und setze ein Minuszeichen davor. So erhältst du -\csc^2 x ganz ohne Beweis. Derselbe Tausch funktioniert für jedes Paar trigonometrischer Ableitungen, du musst dir also nur drei der sechs Ergebnisse merken. Ein kurzer Blick auf den Graphen bestätigt das Vorzeichen: Jeder Ast des Kotangens fällt von links nach rechts, seine Steigung muss also immer negativ sein. In der Nähe der Asymptoten bei Vielfachen von \pi wird er immer steiler, denn dort wächst \csc^2 x über alle Grenzen.
Typische Fehler
- Das Minuszeichen weglassen. Der Kotangens fällt immer, also muss seine Ableitung negativ sein.
- -\csc x\cot x schreiben. Das ist die Ableitung von csc x, ein anderes Ergebnis.
- -\sec^2 x schreiben. Das Quadrat gehört zum Kosekans, dem Partner des Sekans.
Die ganze Familie auf einen Blick findest du im Artikel über die Ableitungen trigonometrischer Funktionen.
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