Derivada de sen²x: fórmula, demonstração e exemplos
A derivada de sen²x é 2 sen x cos x, que é igual a sen 2x. Veja a demonstração pela regra da cadeia, a conferência com o arco duplo e exemplos.
Derivadas trigonométricas Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Derivada
- 2\sin x\cos x
- Simplificada
- \sin 2x
- Com a regra da cadeia
- \dfrac{d}{dx}\sin^2 u = 2\sin u\cos u\cdot u'
- Não é o mesmo que
- \sin(x^2), cuja derivada é 2x\cos(x^2)
- Integral de sen²x
- \int\sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C
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A derivada de \sin^2 x é 2\sin x\cos x, que a fórmula do arco duplo encurta para \sin 2x.
Gráfico de sen²x e de sua derivada
Demonstração pela regra da cadeia
A notação \sin^2 x significa (\sin x)^2. Por fora está o quadrado, por dentro está \sin x. A regra da cadeia dá
A identidade do arco duplo \sin 2x = 2\sin x\cos x arruma isso para \sin 2x.
Conferência com uma identidade de arco duplo
Reescreva primeiro com \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}:
Mesma resposta, sem precisar da regra da cadeia em um quadrado. Essa identidade de redução de potência também é a forma de integrá-la, veja a integral de sen²x.
Conferência com a regra do produto
Escreva \sin^2 x = \sin x\cdot\sin x e use a regra do produto: \cos x\sin x + \sin x\cos x = 2\sin x\cos x.
Variações com a regra da cadeia
| Função | Derivada | Simplificada |
|---|---|---|
| \sin^2(3x) | 6\sin 3x\cos 3x | 3\sin 6x |
| \sin^2(x^2) | 4x\sin(x^2)\cos(x^2) | 2x\sin(2x^2) |
| \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) | \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} | \frac{1}{2}\sin x |
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: uma potência maior. \frac{d}{dx}\sin^3 x = 3\sin^2 x\cos x.
Exemplo 2: um valor. Em x = \frac{\pi}{4}, a inclinação é \sin\frac{\pi}{2} = 1. Esse é o ponto mais inclinado de \sin^2 x.
Exemplo 3: inclinação máxima. A derivada \sin 2x é no máximo 1, então \sin^2 x nunca sobe com inclinação maior que 1, a mesma velocidade máxima de \sin x.
Exemplo 4: derivada segunda. \frac{d}{dx}\sin 2x = 2\cos 2x, então \sin^2 x tem concavidade para cima onde \cos 2x > 0, por exemplo em \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right).
Por que a resposta tem período π
A função \sin^2 x nunca fica negativa, então seu gráfico se repete a cada \pi em vez de a cada 2\pi. A derivada \sin 2x também tem período \pi, o que é uma boa conferência de coerência: uma função e sua derivada devem se repetir juntas. Se sua resposta tivesse período 2\pi, como 2\cos x, algo deu errado. Comparar os períodos é uma forma rápida de pegar erros sem refazer as contas.
Erros comuns
- Responder \cos^2 x. Elevar a derivada ao quadrado não é a regra da cadeia.
- Responder 2\cos x. A derivada do quadrado é 2\sin x, e depois você multiplica por \cos x.
- Confundir \sin^2 x com \sin(x^2). Veja a derivada de sen(x²): 2x\cos(x^2).
A versão com cosseno está na página da derivada de cos²x, e o resultado \sin 2x tem sua própria página, a derivada de sen 2x.
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