Ableitung von sin²x: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von sin²x ist 2 sin x cos x, also sin 2x. Mit Beweis über die Kettenregel, einer Probe mit der Formel für den doppelten Winkel und Beispielen.
Ableitungen trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- 2\sin x\cos x
- Vereinfacht
- \sin 2x
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}\sin^2 u = 2\sin u\cos u\cdot u'
- Nicht zu verwechseln mit
- \sin(x^2), dessen Ableitung 2x\cos(x^2) ist
- Integral von sin²x
- \int\sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C
Auf dieser Seite
Die Ableitung von \sin^2 x ist 2\sin x\cos x, was sich mit der Formel für den doppelten Winkel zu \sin 2x verkürzt.
Graph von sin²x und seiner Ableitung
Beweis mit der Kettenregel
Die Schreibweise \sin^2 x bedeutet (\sin x)^2. Außen steht das Quadrat, innen \sin x. Die Kettenregel liefert
Mit der Identität \sin 2x = 2\sin x\cos x wird daraus kurz \sin 2x.
Probe mit einer Formel für den doppelten Winkel
Forme zuerst mit \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} um:
Gleiches Ergebnis, ohne Kettenregel für ein Quadrat. Mit dieser Formel zur Potenzreduktion integrierst du die Funktion auch, siehe das Integral von sin²x.
Probe mit der Produktregel
Schreibe \sin^2 x = \sin x\cdot\sin x und nutze die Produktregel: \cos x\sin x + \sin x\cos x = 2\sin x\cos x.
Varianten mit der Kettenregel
| Funktion | Ableitung | Vereinfacht |
|---|---|---|
| \sin^2(3x) | 6\sin 3x\cos 3x | 3\sin 6x |
| \sin^2(x^2) | 4x\sin(x^2)\cos(x^2) | 2x\sin(2x^2) |
| \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) | \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} | \frac{1}{2}\sin x |
Rechenbeispiele
Beispiel 1: eine höhere Potenz. \frac{d}{dx}\sin^3 x = 3\sin^2 x\cos x.
Beispiel 2: ein Wert. Bei x = \frac{\pi}{4} ist die Steigung \sin\frac{\pi}{2} = 1. Das ist die steilste Stelle von \sin^2 x.
Beispiel 3: maximale Steigung. Die Ableitung \sin 2x ist höchstens 1, also steigt \sin^2 x nie steiler als mit Steigung 1, genauso wie \sin x.
Beispiel 4: zweite Ableitung. \frac{d}{dx}\sin 2x = 2\cos 2x, also ist \sin^2 x dort linksgekrümmt, wo \cos 2x > 0 ist, zum Beispiel auf \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right).
Warum das Ergebnis die Periode π hat
Die Funktion \sin^2 x wird nie negativ, ihr Graph wiederholt sich also alle \pi statt alle 2\pi. Auch die Ableitung \sin 2x hat die Periode \pi, und das ist eine gute Plausibilitätsprüfung: Eine Funktion und ihre Ableitung sollten sich gemeinsam wiederholen. Hätte dein Ergebnis die Periode 2\pi, zum Beispiel 2\cos x, wäre etwas schiefgelaufen. Über die Periode findest du Fehler schnell, ohne die ganze Rechnung zu wiederholen.
Typische Fehler
- \cos^2 x als Antwort. Die Ableitung zu quadrieren ist nicht die Kettenregel.
- 2\cos x als Antwort. Die Ableitung des Quadrats ist 2\sin x, danach multiplizierst du mit \cos x.
- \sin^2 x und \sin(x^2) verwechseln. Siehe die Ableitung von sin(x²): 2x\cos(x^2).
Die Kosinus-Version findest du auf der Seite zur Ableitung von cos²x, und das Ergebnis \sin 2x hat eine eigene Seite zur Ableitung von sin 2x.
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