Derivada pela definição: exercícios resolvidos com respostas

Estes exercícios de derivada pela definição começam com uma reta e uma parábola, passam por cubos, frações e raízes quadradas e terminam com retas tangentes e limites que você pode reconhecer como derivadas. Tente resolver cada um antes de ler a resolução. As respostas vêm logo depois da lista.

A definição que você usa em todos eles:

Para relembrar de onde ela vem, leia o guia sobre a definição de derivada.

Exercícios

Polinômios

1. f(x) = 5x - 3
2. f(x) = x^2
3. f(x) = 3x^2 - 4x + 1
4. f(x) = x^3

Frações e raízes

5. f(x) = \dfrac{1}{x}
6. f(x) = \sqrt{x}
7. f(x) = \dfrac{1}{x + 2}
8. f(x) = \sqrt{2x + 1}

Em um ponto e retas tangentes

9. Use a definição para encontrar f'(3) para f(x) = x^2 + 2x.
10. Encontre a reta tangente a f(x) = x^2 - 3x em x = 1, usando a definição para a inclinação.

Reconheça a derivada

11. \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^4 - 16}{h}
12. \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{3} + h\right) - \sin\frac{\pi}{3}}{h}

Respostas

Resoluções passo a passo

1. f(x+h) = 5(x+h) - 3 = 5x + 5h - 3. Subtraia f(x):

Uma reta tem a mesma inclinação em todos os pontos, então f'(x) = 5.

2. Desenvolva (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2:

3. f(x+h) = 3(x^2 + 2xh + h^2) - 4x - 4h + 1. Depois de subtrair f(x), só sobram os termos com h:

4. Desenvolva (x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3:

5. Junte as frações sobre x(x+h):

6. Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado \sqrt{x+h} + \sqrt{x}:

Quando h\to 0, isso vira \frac{1}{2\sqrt{x}}.

7. Mesma ideia do exercício 5, com denominador comum (x + h + 2)(x + 2):

8. Multiplique pelo conjugado. O numerador fica (2x + 2h + 1) - (2x + 1) = 2h:

9. Use f'(3) = \lim_{h\to 0}\frac{f(3+h) - f(3)}{h}. Aqui f(3) = 15 e

10. Primeiro a inclinação em x = 1. f(1) = -2 e f(1 + h) = (1 + h)^2 - 3(1 + h) = -2 - h + h^2:

A reta tangente passa por (1, -2) com inclinação -1:

11. Isso corresponde a \frac{f(a + h) - f(a)}{h} com f(x) = x^4 e a = 2, já que 2^4 = 16. Então o limite é f'(2), e pela regra da potência, f'(x) = 4x^3 dá f'(2) = 32.

12. Isso corresponde a f(x) = \sin x em a = \frac{\pi}{3}. A derivada de \sin x é \cos x, então o limite é \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.

Erros comuns nestes exercícios

• Escrever f(x+h) como f(x) + h. No exercício 2, (x+h)^2 é x^2 + 2xh + h^2, e não x^2 + h.
• Perder um sinal na subtração. Coloque f(x) entre parênteses antes de subtrair, principalmente no exercício 3, em que ela tem três termos.
• Fazer h\to 0 cedo demais. Substituir h = 0 antes de cancelar dá \frac{0}{0}. Cancele o h primeiro.
• Desenvolver o conjugado no denominador. Nos exercícios 6 e 8, deixe o denominador fatorado. Só o numerador precisa ser simplificado.

Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para praticar sem limite, com novas funções e correção na hora, faça a lição sobre a definição de derivada e a lição sobre retas tangentes. Quando a definição estiver firme, o atalho é a regra da potência: pratique com os exercícios de regra da potência.