Ejercicios resueltos de la derivada por definición (límite)

Estos ejercicios de la derivada por definición empiezan con una recta y una parábola, siguen con cubos, fracciones y raíces cuadradas, y terminan con rectas tangentes y límites que puedes reconocer como derivadas. Intenta cada uno antes de leer la solución. Las respuestas aparecen justo después de la lista.

La definición que usarás siempre:

Si quieres repasar de dónde sale, lee la guía de la derivada por definición.

Ejercicios

Polinomios

1. f(x) = 5x - 3
2. f(x) = x^2
3. f(x) = 3x^2 - 4x + 1
4. f(x) = x^3

Fracciones y raíces

5. f(x) = \dfrac{1}{x}
6. f(x) = \sqrt{x}
7. f(x) = \dfrac{1}{x + 2}
8. f(x) = \sqrt{2x + 1}

En un punto y rectas tangentes

9. Usa la definición para hallar f'(3) si f(x) = x^2 + 2x.
10. Halla la recta tangente a f(x) = x^2 - 3x en x = 1, usando la definición para la pendiente.

Reconoce la derivada

11. \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^4 - 16}{h}
12. \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{3} + h\right) - \sin\frac{\pi}{3}}{h}

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. f(x+h) = 5(x+h) - 3 = 5x + 5h - 3. Resta f(x):

Una recta tiene la misma pendiente en todas partes, así que f'(x) = 5.

2. Desarrolla (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2:

3. f(x+h) = 3(x^2 + 2xh + h^2) - 4x - 4h + 1. Después de restar f(x), solo quedan los términos con h:

4. Desarrolla (x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3:

5. Combina las fracciones con denominador común x(x+h):

6. Multiplica numerador y denominador por el conjugado \sqrt{x+h} + \sqrt{x}:

Cuando h\to 0 esto se convierte en \frac{1}{2\sqrt{x}}.

7. La misma idea que en el ejercicio 5, con denominador común (x + h + 2)(x + 2):

8. Multiplica por el conjugado. El numerador queda (2x + 2h + 1) - (2x + 1) = 2h:

9. Usa f'(3) = \lim_{h\to 0}\frac{f(3+h) - f(3)}{h}. Aquí f(3) = 15 y

10. Primero la pendiente en x = 1. f(1) = -2 y f(1 + h) = (1 + h)^2 - 3(1 + h) = -2 - h + h^2:

La recta tangente pasa por (1, -2) con pendiente -1:

11. Coincide con \frac{f(a + h) - f(a)}{h} para f(x) = x^4 y a = 2, ya que 2^4 = 16. Así que el límite es f'(2), y con la regla de la potencia, f'(x) = 4x^3 da f'(2) = 32.

12. Coincide con f(x) = \sin x en a = \frac{\pi}{3}. La derivada de \sin x es \cos x, así que el límite es \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.

Errores comunes en estos ejercicios

• Escribir f(x+h) como f(x) + h. En el ejercicio 2, (x+h)^2 es x^2 + 2xh + h^2, no x^2 + h.
• Perder un signo al restar. Pon f(x) entre paréntesis antes de restar, sobre todo en el ejercicio 3, donde tiene tres términos.
• Hacer h\to 0 demasiado pronto. Sustituir h = 0 antes de cancelar da \frac{0}{0}. Cancela primero la h.
• Desarrollar el conjugado en el denominador. En los ejercicios 6 y 8, deja el denominador factorizado. Solo necesitas simplificar el numerador.

Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, prueba la lección de la derivada por definición y la lección de rectas tangentes. Cuando domines la definición, el atajo es la regla de la potencia: practícala con los ejercicios de la regla de la potencia.