Dérivée par la définition (limite) : exercices corrigés

Ces exercices sur la dérivée par la définition commencent par une droite et une parabole, passent aux cubes, aux fractions et aux racines carrées, et se terminent par des tangentes et des limites à reconnaître comme des dérivées. Cherchez chaque exercice avant de lire la solution. Les réponses suivent directement la liste.

La définition que vous utiliserez à chaque fois :

Pour un rappel sur son origine, lisez le guide de la dérivée par la définition.

Exercices

Polynômes

1. f(x) = 5x - 3
2. f(x) = x^2
3. f(x) = 3x^2 - 4x + 1
4. f(x) = x^3

Fractions et racines

5. f(x) = \dfrac{1}{x}
6. f(x) = \sqrt{x}
7. f(x) = \dfrac{1}{x + 2}
8. f(x) = \sqrt{2x + 1}

En un point et tangentes

9. Utilisez la définition pour calculer f'(3) pour f(x) = x^2 + 2x.
10. Déterminez la tangente à f(x) = x^2 - 3x en x = 1, en calculant la pente avec la définition.

Reconnaître la dérivée

11. \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^4 - 16}{h}
12. \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{3} + h\right) - \sin\frac{\pi}{3}}{h}

Réponses

Solutions détaillées

1. f(x+h) = 5(x+h) - 3 = 5x + 5h - 3. Soustrayez f(x) :

Une droite a la même pente partout, donc f'(x) = 5.

2. Développez (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 :

3. f(x+h) = 3(x^2 + 2xh + h^2) - 4x - 4h + 1. Après avoir soustrait f(x), il ne reste que les termes en h :

4. Développez (x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 :

5. Réduisez au même dénominateur x(x+h) :

6. Multipliez le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée \sqrt{x+h} + \sqrt{x} :

Quand h\to 0, on obtient \frac{1}{2\sqrt{x}}.

7. Même idée que l'exercice 5, avec le dénominateur commun (x + h + 2)(x + 2) :

8. Multipliez par la quantité conjuguée. Le numérateur devient (2x + 2h + 1) - (2x + 1) = 2h :

9. Utilisez f'(3) = \lim_{h\to 0}\frac{f(3+h) - f(3)}{h}. Ici f(3) = 15 et

10. D'abord la pente en x = 1. f(1) = -2 et f(1 + h) = (1 + h)^2 - 3(1 + h) = -2 - h + h^2 :

La tangente passe par (1, -2) avec la pente -1 :

11. On reconnaît \frac{f(a + h) - f(a)}{h} avec f(x) = x^4 et a = 2, puisque 2^4 = 16. La limite vaut donc f'(2), et avec la règle de la puissance, f'(x) = 4x^3 donne f'(2) = 32.

12. On reconnaît f(x) = \sin x en a = \frac{\pi}{3}. La dérivée de \sin x est \cos x, donc la limite vaut \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Écrire f(x+h) comme f(x) + h. Dans l'exercice 2, (x+h)^2 vaut x^2 + 2xh + h^2, et non x^2 + h.
• Perdre un signe en soustrayant. Mettez f(x) entre parenthèses avant de soustraire, surtout dans l'exercice 3 où il y a trois termes.
• Faire tendre h\to 0 trop tôt. Remplacer h = 0 avant de simplifier donne \frac{0}{0}. Simplifiez d'abord par h.
• Développer la quantité conjuguée au dénominateur. Dans les exercices 6 et 8, laissez le dénominateur factorisé. Seul le numérateur doit être simplifié.

Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des nombres fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles fonctions et une correction immédiate, essayez la leçon sur la définition par la limite et la leçon sur les tangentes. Une fois la définition bien maîtrisée, le raccourci est la règle de la puissance : entraînez-vous avec les exercices sur la règle de la puissance.