Exercícios de derivadas trigonométricas inversas, com respostas

Estes exercícios de derivadas de funções trigonométricas inversas começam com as fórmulas básicas, depois usam a regra da cadeia, a regra do produto e um logaritmo, e terminam com dois exercícios que se simplificam de um jeito surpreendente e uma reta tangente. Tente cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, e em seguida as resoluções completas.

As fórmulas de que você precisa:

Cada fórmula vem da derivação implícita. Veja a derivada de arcsen x, a derivada de arctg x e a derivada de arcsec x para as demonstrações completas.

Exercícios

Fórmulas básicas

1. y = 3\arctan x - 2\arcsin x
2. y = \arctan(3x)
3. y = \arccos(2x)

Regra da cadeia

4. y = \arcsin(x^2)
5. y = \arctan\!\left(\sqrt{x}\right)
6. y = \arctan(e^x)
7. y = \operatorname{arcsec}(3x) para x > \frac{1}{3}

Com outras regras

8. y = x\arctan x
9. y = \ln(\arctan x) para x > 0
10. y = \arcsin x + \sqrt{1 - x^2}

Simplifique e aplique

11. y = \arctan x + \arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right) para x > 0
12. Encontre a reta tangente a y = \arctan x em x = 1.

Respostas

Resolução passo a passo

1. Use a tabela em cada termo:

2. Com u = 3x, u' = 3 e u^2 = 9x^2:

3. Com u = 2x, u' = 2 e u^2 = 4x^2. Mantenha o sinal de menos do arccos:

4. Com u = x^2, u' = 2x e u^2 = x^4:

5. Com u = \sqrt{x}, u' = \frac{1}{2\sqrt{x}} e u^2 = x:

6. Com u = e^x, u' = e^x e u^2 = e^{2x}:

7. Com u = 3x > 1, |u| = 3x e u' = 3:

8. Use a regra do produto:

9. Use (\ln u)' = \frac{u'}{u} com u = \arctan x:

10. A derivada de \sqrt{1 - x^2} é \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}. Some as duas partes:

Como 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x), isso se simplifica para \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} quando -1 < x < 1.

11. No segundo termo, u = \frac{1}{x} e u' = -\frac{1}{x^2}:

Então y' = \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2} = 0. A função é constante para x > 0. Em x = 1 ela vale \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}, então \arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} para todo x > 0.

12. O ponto é \arctan 1 = \frac{\pi}{4}. A inclinação é \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{1}{2}:

Erros comuns nestes exercícios

• Elevar ao quadrado só o x, e não a função de dentro inteira. No exercício 2 o denominador é 1 + (3x)^2 = 1 + 9x^2, não 1 + 3x^2.
• Esquecer o u' no numerador. \frac{d}{dx}\arcsin(x^2) precisa do 2x no numerador.
• Confundir \arcsin x com \frac{1}{\sin x}. \arcsin x é a função inversa, e \frac{1}{\sin x} é \csc x. As derivadas são completamente diferentes.
• Esquecer o sinal de menos do arccos. O exercício 3 tem resposta negativa porque (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada com novas funções e correção imediata, experimente a lição de derivadas trigonométricas inversas e a lição de derivadas de funções inversas. Para revisar antes as funções trigonométricas comuns, use os exercícios de derivadas trigonométricas.