Exercícios de integrais trigonométricas resolvidos, com respostas

Estes exercícios de integrais trigonométricas cobrem potências de seno e cosseno, tangente e secante e produtos com arcos diferentes. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes para você conferir rápido, depois as resoluções completas.

As identidades que você vai usar:

Exercícios

Potências pares: arco metade

1. \displaystyle\int\sin^2 x\,dx
2. \displaystyle\int\cos^2 x\,dx
3. \displaystyle\int\sin^2 x\cos^2 x\,dx

Potências ímpares: guarde um fator

4. \displaystyle\int\sin^2 x\cos x\,dx
5. \displaystyle\int\cos^3 x\,dx
6. \displaystyle\int\sin^3 x\,dx
7. \displaystyle\int\sin^3 x\cos^2 x\,dx

Tangente e secante

8. \displaystyle\int\tan^2 x\,dx
9. \displaystyle\int\sec^4 x\,dx
10. \displaystyle\int\tan^3 x\sec x\,dx

Arcos diferentes e integrais definidas

11. \displaystyle\int\sin(3x)\cos x\,dx
12. \displaystyle\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx

Respostas

Resolução passo a passo

1. Use a fórmula do arco metade:

Veja a integral de sen² x para mais detalhes.

2. A mesma ideia, com sinal de mais:

3. Use \sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x, então \sin^2 x\cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2 2x. Depois aplique a fórmula do arco metade com arco 2x:

4. Seja u = \sin x, então du = \cos x\,dx:

5. Guarde um \cos x e escreva \cos^2 x = 1 - \sin^2 x. Com u = \sin x:

6. Guarde um \sin x e escreva \sin^2 x = 1 - \cos^2 x. Com u = \cos x, du = -\sin x\,dx:

7. O seno tem a potência ímpar, então guarde um \sin x: \sin^3 x\cos^2 x = (1 - \cos^2 x)\cos^2 x\sin x. Com u = \cos x:

8. Use \tan^2 x = \sec^2 x - 1:

9. Guarde \sec^2 x para o du e escreva o outro \sec^2 x = 1 + \tan^2 x. Com u = \tan x:

10. Guarde \sec x\tan x para o du com u = \sec x. O que sobra é \tan^2 x = \sec^2 x - 1 = u^2 - 1:

11. Use a fórmula de transformação de produto em soma \sin A\cos B = \frac{1}{2}\big[\sin(A + B) + \sin(A - B)\big]:

12. Pelo exercício 1:

Faz sentido: em [0, \pi], a média de \sin^2 x é \frac{1}{2}, e \frac{1}{2}\cdot\pi = \frac{\pi}{2}.

Erros comuns nestes exercícios

• Usar substituição numa potência par. \int\sin^2 x\,dx não é \frac{\sin^3 x}{3}. Não há fator \cos x para formar o du.
• Trocar os sinais do arco metade. \sin^2 fica com o sinal de menos e \cos^2 com o de mais. Confira com x = 0: \sin^2 0 = 0 = \frac{1 - 1}{2}.
• Esquecer o fator da regra da cadeia. \int\cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}, e não \sin 2x.
• Não guardar um fator. No exercício 6, os três senos precisam ser usados: um para o du e dois convertidos em cosseno.

Continue praticando

Para exercícios ilimitados com correção imediata, faça a lição de integrais trigonométricas. Veja também a integral de tg² x e a integral de sec³ x. Quando aparecer \sqrt{a^2 - x^2} ou x^2 + a^2, siga para os exercícios de substituição trigonométrica.