Ejercicios resueltos de integrales trigonométricas con soluciones

Estos ejercicios de integrales trigonométricas cubren potencias de seno y coseno, tangente y secante, y productos de ángulos distintos. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y luego las soluciones completas.

Las identidades que vas a usar:

Ejercicios

Potencias pares: ángulo mitad

1. \displaystyle\int\sin^2 x\,dx
2. \displaystyle\int\cos^2 x\,dx
3. \displaystyle\int\sin^2 x\cos^2 x\,dx

Potencias impares: reserva un factor

4. \displaystyle\int\sin^2 x\cos x\,dx
5. \displaystyle\int\cos^3 x\,dx
6. \displaystyle\int\sin^3 x\,dx
7. \displaystyle\int\sin^3 x\cos^2 x\,dx

Tangente y secante

8. \displaystyle\int\tan^2 x\,dx
9. \displaystyle\int\sec^4 x\,dx
10. \displaystyle\int\tan^3 x\sec x\,dx

Ángulos distintos e integrales definidas

11. \displaystyle\int\sin(3x)\cos x\,dx
12. \displaystyle\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Usa la identidad del ángulo mitad:

Consulta la integral de sen² x para saber más.

2. La misma idea con signo más:

3. Usa \sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x, así que \sin^2 x\cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2 2x. Luego aplica la identidad del ángulo mitad con ángulo 2x:

4. Sea u = \sin x, así que du = \cos x\,dx:

5. Reserva un \cos x y escribe \cos^2 x = 1 - \sin^2 x. Con u = \sin x:

6. Reserva un \sin x y escribe \sin^2 x = 1 - \cos^2 x. Con u = \cos x, du = -\sin x\,dx:

7. El seno tiene la potencia impar, así que reserva un \sin x: \sin^3 x\cos^2 x = (1 - \cos^2 x)\cos^2 x\sin x. Con u = \cos x:

8. Usa \tan^2 x = \sec^2 x - 1:

9. Reserva \sec^2 x para du y escribe el otro \sec^2 x = 1 + \tan^2 x. Con u = \tan x:

10. Reserva \sec x\tan x para du con u = \sec x. Lo que sobra, \tan^2 x = \sec^2 x - 1 = u^2 - 1:

11. Usa la identidad de producto a suma \sin A\cos B = \frac{1}{2}\big[\sin(A + B) + \sin(A - B)\big]:

12. A partir del ejercicio 1:

Tiene sentido: en [0, \pi], \sin^2 x tiene valor medio \frac{1}{2}, y \frac{1}{2}\cdot\pi = \frac{\pi}{2}.

Errores comunes en estos ejercicios

• Usar sustitución con una potencia par. \int\sin^2 x\,dx no es \frac{\sin^3 x}{3}. No hay ningún factor \cos x que forme du.
• Confundir los signos del ángulo mitad. \sin^2 lleva el signo menos y \cos^2 el signo más. Compruébalo con x = 0: \sin^2 0 = 0 = \frac{1 - 1}{2}.
• Olvidar el factor de la regla de la cadena. \int\cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}, no \sin 2x.
• No reservar un factor. En el ejercicio 6 hay que usar los tres senos: uno para du y dos convertidos en coseno.

Sigue practicando

Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la lección de integrales trigonométricas. Consulta también la integral de tan² x y la integral de sec³ x. Cuando veas \sqrt{a^2 - x^2} o x^2 + a^2, sigue con los ejercicios de sustitución trigonométrica.