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Techniques d'intégration

Intégrales trigonométriques : exercices corrigés

12 exercices corrigés sur les intégrales trigonométriques : puissances de sinus et cosinus, tangente et sécante, linéarisation et formules produit-somme.

Techniques d'intégration Mis à jour Lecture : 4 min

En bref

\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
Exercices
12, avec réponses et solutions complètes
Niveau
Analyse 2 et AP Calculus BC
Prérequis
Le changement de variable et les identités de Pythagore
Idée principale
Puissance impaire : garder un facteur pour du. Puissances paires : linéariser avec les formules de l'angle moitié
S'entraîner avec de nouveaux nombres
Leçon sur les intégrales trigonométriques
Sur cette page
  1. Exercices
  2. Réponses
  3. Solutions détaillées
  4. Erreurs fréquentes sur ces exercices
  5. Continuer à s'entraîner

Ces exercices sur les intégrales trigonométriques portent sur les puissances de sinus et de cosinus, la tangente et la sécante, et les produits d'angles différents. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier pour vérifier rapidement, puis les solutions complètes.

Les identités que vous utiliserez :

\sin^2 x + \cos^2 x = 1, \qquad 1 + \tan^2 x = \sec^2 x
\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

Exercices

Puissances paires : linéarisation

  1. \displaystyle\int\sin^2 x\,dx
  2. \displaystyle\int\cos^2 x\,dx
  3. \displaystyle\int\sin^2 x\cos^2 x\,dx

Puissances impaires : garder un facteur

  1. \displaystyle\int\sin^2 x\cos x\,dx
  2. \displaystyle\int\cos^3 x\,dx
  3. \displaystyle\int\sin^3 x\,dx
  4. \displaystyle\int\sin^3 x\cos^2 x\,dx

Tangente et sécante

  1. \displaystyle\int\tan^2 x\,dx
  2. \displaystyle\int\sec^4 x\,dx
  3. \displaystyle\int\tan^3 x\sec x\,dx

Angles différents et intégrales définies

  1. \displaystyle\int\sin(3x)\cos x\,dx
  2. \displaystyle\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx

Réponses

Exercice Réponse
1 \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C
2 \dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C
3 \dfrac{x}{8} - \dfrac{\sin 4x}{32} + C
4 \dfrac{\sin^3 x}{3} + C
5 \sin x - \dfrac{\sin^3 x}{3} + C
6 -\cos x + \dfrac{\cos^3 x}{3} + C
7 -\dfrac{\cos^3 x}{3} + \dfrac{\cos^5 x}{5} + C
8 \tan x - x + C
9 \tan x + \dfrac{\tan^3 x}{3} + C
10 \dfrac{\sec^3 x}{3} - \sec x + C
11 -\dfrac{\cos 4x}{8} - \dfrac{\cos 2x}{4} + C
12 \dfrac{\pi}{2}

Solutions détaillées

1. Utilisez la formule de linéarisation :

\int\frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C

Voir l'intégrale de sin² x pour plus de détails.

2. Même idée avec un signe plus :

\int\frac{1 + \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C

3. Utilisez \sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x, donc \sin^2 x\cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2 2x. Appliquez ensuite la formule de linéarisation avec l'angle 2x :

\frac{1}{4}\int\frac{1 - \cos 4x}{2}\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C

4. Posez u = \sin x, donc du = \cos x\,dx :

\int u^2\,du = \frac{\sin^3 x}{3} + C

5. Gardez un \cos x et écrivez \cos^2 x = 1 - \sin^2 x. Avec u = \sin x :

\int(1 - u^2)\,du = \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C

6. Gardez un \sin x et écrivez \sin^2 x = 1 - \cos^2 x. Avec u = \cos x, du = -\sin x\,dx :

-\int(1 - u^2)\,du = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C

7. Le sinus a la puissance impaire, donc gardez un \sin x : \sin^3 x\cos^2 x = (1 - \cos^2 x)\cos^2 x\sin x. Avec u = \cos x :

-\int(u^2 - u^4)\,du = -\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{\cos^5 x}{5} + C

8. Utilisez \tan^2 x = \sec^2 x - 1 :

\int(\sec^2 x - 1)\,dx = \tan x - x + C

9. Gardez \sec^2 x pour du et écrivez l'autre \sec^2 x = 1 + \tan^2 x. Avec u = \tan x :

\int(1 + u^2)\,du = \tan x + \frac{\tan^3 x}{3} + C

10. Gardez \sec x\tan x pour du avec u = \sec x. Le reste \tan^2 x = \sec^2 x - 1 = u^2 - 1 :

\int(u^2 - 1)\,du = \frac{\sec^3 x}{3} - \sec x + C

11. Utilisez la formule produit-somme \sin A\cos B = \frac{1}{2}\big[\sin(A + B) + \sin(A - B)\big] :

\frac{1}{2}\int(\sin 4x + \sin 2x)\,dx = -\frac{\cos 4x}{8} - \frac{\cos 2x}{4} + C

12. D'après l'exercice 1 :

\left[\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}

C'est cohérent : sur [0, \pi], la valeur moyenne de \sin^2 x est \frac{1}{2}, et \frac{1}{2}\cdot\pi = \frac{\pi}{2}.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

  • Faire un changement de variable sur une puissance paire. \int\sin^2 x\,dx ne vaut pas \frac{\sin^3 x}{3}. Il n'y a pas de facteur \cos x pour former du.
  • Confondre les signes des formules de linéarisation. \sin^2 prend le signe moins, \cos^2 le signe plus. Vérifiez avec x = 0 : \sin^2 0 = 0 = \frac{1 - 1}{2}.
  • Oublier le facteur de la dérivation en chaîne. \int\cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}, et non \sin 2x.
  • Ne pas garder de facteur. Dans l'exercice 6, les trois sinus doivent servir : un pour du, deux convertis en cosinus.

Continuer à s'entraîner

Pour des exercices illimités avec une correction immédiate, essayez la leçon sur les intégrales trigonométriques. Voir aussi l'intégrale de tan² x et l'intégrale de sec³ x. Quand vous voyez \sqrt{a^2 - x^2} ou x^2 + a^2, passez aux exercices sur le changement de variable trigonométrique.

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Puissances de sinus et de cosinus

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Questions fréquentes

Comment intégrer sin² x ?
Utilisez \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}. Alors \int\sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C. L'exercice 1 détaille les étapes.

Que faire quand le sinus et le cosinus ont tous deux une puissance impaire ?
Les deux choix fonctionnent. Gardez un facteur de celui qui a la plus petite puissance impaire pour alléger les calculs.

Pourquoi les réponses des intégrales trigonométriques diffèrent-elles selon les livres ?
Les identités trigonométriques permettent d'écrire la même fonction de nombreuses façons, et les réponses peuvent différer d'une constante. Dérivez les deux formes ou comparez-les en un point pour vérifier qu'elles concordent.

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