Exercícios de multiplicadores de Lagrange resolvidos, com respostas

Estes exercícios de multiplicadores de Lagrange cobrem problemas com duas variáveis em retas e circunferências, problemas de ponto mais próximo, problemas com três variáveis e o significado de \lambda. Tente cada um primeiro. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas.

O método, para encontrar os valores extremos de f sujeita a g = k:

Resolva o sistema e depois compare f em todas as soluções. Para entender a geometria por trás, leia o guia de multiplicadores de Lagrange.

Exercícios

Restrição em uma reta

1. Maximize f(x, y) = xy sujeita a x + y = 10.
2. Minimize f(x, y) = x^2 + y^2 sujeita a x + y = 4.
3. Encontre o ponto da reta 2x + y = 5 mais próximo da origem.

Restrição em uma circunferência

4. Encontre o máximo e o mínimo de f(x, y) = x + y em x^2 + y^2 = 2.
5. Encontre o máximo e o mínimo de f(x, y) = xy em x^2 + y^2 = 8.
6. Encontre o máximo e o mínimo de f(x, y) = x^2y em x^2 + y^2 = 3.
7. Encontre o máximo e o mínimo de f(x, y) = 2x + 3y em x^2 + y^2 = 13.

Três variáveis e aplicações

8. Maximize f(x, y, z) = xyz sujeita a x + y + z = 12, com x, y, z > 0.
9. Encontre o ponto do plano x + 2y + 2z = 9 mais próximo da origem.
10. Uma caixa fechada tem volume 8. Encontre as dimensões com a menor área de superfície.
11. Um retângulo tem perímetro 40. Encontre a maior área possível.
12. No exercício 1, encontre \lambda. Use-o para estimar o novo máximo se a restrição passar a ser x + y = 11 e compare com o valor exato.

Respostas

Resolução passo a passo

1. \nabla f = \langle y, x\rangle e \nabla g = \langle 1, 1\rangle. Então y = \lambda e x = \lambda, o que dá x = y. A restrição dá x = y = 5 e f = 25.

2. \langle 2x, 2y\rangle = \lambda\langle 1, 1\rangle, então x = y = 2 e f = 8. Ao longo da reta, x^2 + y^2 cresce sem limite, então este é um mínimo.

3. Minimize o quadrado da distância, x^2 + y^2. Então 2x = 2\lambda e 2y = \lambda, logo x = 2y. A restrição dá 4y + y = 5, então y = 1 e x = 2. A distância é \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}.

4. \langle 1, 1\rangle = \lambda\langle 2x, 2y\rangle, então x = y. Assim 2x^2 = 2, logo x = \pm 1. Compare: f(1, 1) = 2 e f(-1, -1) = -2.

5. y = 2\lambda x e x = 2\lambda y. Multiplique: xy = 4\lambda^2 xy. Se xy \neq 0, então \lambda = \pm\frac{1}{2} e x^2 = y^2. A restrição dá x^2 = 4. Os pontos (2, 2) e (-2, -2) dão 4; (2, -2) e (-2, 2) dão -4. Se xy = 0, então f = 0, que não é nem máximo nem mínimo.

6. 2xy = 2\lambda x e x^2 = 2\lambda y. Se x \neq 0, a primeira dá \lambda = y, e a segunda dá x^2 = 2y^2. A restrição vira 3y^2 = 3, então y = \pm 1 e x = \pm\sqrt{2}. Assim f = x^2y = 2y, que vale 2 ou -2. O caso x = 0 dá f = 0.

7. 2 = 2\lambda x e 3 = 2\lambda y, então \frac{y}{x} = \frac{3}{2} e y = \frac{3}{2}x. A restrição dá x^2 + \frac{9}{4}x^2 = 13, então x^2 = 4 e x = \pm 2. Os pontos (2, 3) e (-2, -3) dão 13 e -13.

8. yz = \lambda, xz = \lambda e xy = \lambda. Comparando, obtemos x = y = z, então cada um vale 4 e f = 64.

9. Minimize x^2 + y^2 + z^2. Então \langle 2x, 2y, 2z\rangle = \lambda\langle 1, 2, 2\rangle, logo (x, y, z) = t(1, 2, 2). A restrição dá t + 4t + 4t = 9, então t = 1. O ponto é (1, 2, 2) e a distância é \sqrt{1 + 4 + 4} = 3.

10. Minimize S = 2(xy + yz + xz) sujeita a xyz = 8. As equações 2(y + z) = \lambda yz, 2(x + z) = \lambda xz e 2(x + y) = \lambda xy dão x = y = z. Então x^3 = 8, e a caixa é um cubo 2\times 2\times 2 com S = 24.

11. Maximize xy sujeita a 2x + 2y = 40. Então y = 2\lambda e x = 2\lambda, logo x = y = 10 e a área é 100.

12. No exercício 1, \lambda = x = 5. Aumentar a restrição de 10 para 11 deve aumentar o máximo em cerca de 5, para 30. O máximo exato para x + y = 11 é 5.5^2 = 30.25. Bem próximo.

Erros comuns nestes exercícios

• Dividir por uma variável que pode ser 0. Nos exercícios 5 e 6, verifique separadamente os casos x = 0 ou y = 0.
• Esquecer a equação da restrição. \nabla f = \lambda\nabla g sozinha tem incógnitas demais. A restrição é a equação que falta.
• Parar em um único ponto. Em uma circunferência há um máximo e um mínimo. Encontre todas as soluções e compare.
• Minimizar a distância com raiz quadrada. Minimize o quadrado da distância. Ele tem o mesmo ponto de mínimo e derivadas mais simples.

Continue praticando

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