Multiplicateurs de Lagrange : exercices corrigés avec réponses

Ces exercices sur les multiplicateurs de Lagrange couvrent des problèmes à deux variables sur des droites et des cercles, des problèmes de point le plus proche, des problèmes à trois variables et la signification de \lambda. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses sont données en premier, puis viennent les solutions détaillées.

La méthode, pour trouver les extremums de f sous la contrainte g = k :

Résolvez le système, puis comparez les valeurs de f en chaque solution. Pour la géométrie sous-jacente, lisez le guide des multiplicateurs de Lagrange.

Exercices

Contrainte sur une droite

1. Maximisez f(x, y) = xy sous la contrainte x + y = 10.
2. Minimisez f(x, y) = x^2 + y^2 sous la contrainte x + y = 4.
3. Trouvez le point de la droite 2x + y = 5 le plus proche de l'origine.

Contrainte sur un cercle

4. Trouvez le maximum et le minimum de f(x, y) = x + y sur x^2 + y^2 = 2.
5. Trouvez le maximum et le minimum de f(x, y) = xy sur x^2 + y^2 = 8.
6. Trouvez le maximum et le minimum de f(x, y) = x^2y sur x^2 + y^2 = 3.
7. Trouvez le maximum et le minimum de f(x, y) = 2x + 3y sur x^2 + y^2 = 13.

Trois variables et applications

8. Maximisez f(x, y, z) = xyz sous la contrainte x + y + z = 12, avec x, y, z > 0.
9. Trouvez le point du plan x + 2y + 2z = 9 le plus proche de l'origine.
10. Une boîte fermée a un volume de 8. Trouvez les dimensions qui minimisent l'aire de sa surface.
11. Un rectangle a un périmètre de 40. Trouvez son aire maximale.
12. Dans l'exercice 1, calculez \lambda. Utilisez-le pour estimer le nouveau maximum si la contrainte devient x + y = 11, et comparez avec la valeur exacte.

Réponses

Solutions détaillées

1. \nabla f = \langle y, x\rangle et \nabla g = \langle 1, 1\rangle. Donc y = \lambda et x = \lambda, ce qui donne x = y. La contrainte donne x = y = 5 et f = 25.

2. \langle 2x, 2y\rangle = \lambda\langle 1, 1\rangle, donc x = y = 2 et f = 8. Le long de la droite, x^2 + y^2 croît sans limite, donc c'est un minimum.

3. Minimisez le carré de la distance x^2 + y^2. Alors 2x = 2\lambda et 2y = \lambda, donc x = 2y. La contrainte donne 4y + y = 5, donc y = 1 et x = 2. La distance vaut \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}.

4. \langle 1, 1\rangle = \lambda\langle 2x, 2y\rangle, donc x = y. Alors 2x^2 = 2, donc x = \pm 1. Comparez : f(1, 1) = 2 et f(-1, -1) = -2.

5. y = 2\lambda x et x = 2\lambda y. En multipliant : xy = 4\lambda^2 xy. Si xy \neq 0, alors \lambda = \pm\frac{1}{2} et x^2 = y^2. La contrainte donne x^2 = 4. Les points (2, 2) et (-2, -2) donnent 4 ; (2, -2) et (-2, 2) donnent -4. Si xy = 0, alors f = 0, qui n'est pas un extremum.

6. 2xy = 2\lambda x et x^2 = 2\lambda y. Si x \neq 0, la première donne \lambda = y, et la seconde donne x^2 = 2y^2. La contrainte devient 3y^2 = 3, donc y = \pm 1 et x = \pm\sqrt{2}. Alors f = x^2y = 2y, qui vaut 2 ou -2. Le cas x = 0 donne f = 0.

7. 2 = 2\lambda x et 3 = 2\lambda y, donc \frac{y}{x} = \frac{3}{2} et y = \frac{3}{2}x. La contrainte donne x^2 + \frac{9}{4}x^2 = 13, donc x^2 = 4 et x = \pm 2. Les points (2, 3) et (-2, -3) donnent 13 et -13.

8. yz = \lambda, xz = \lambda et xy = \lambda. En les comparant, on obtient x = y = z, donc chacun vaut 4 et f = 64.

9. Minimisez x^2 + y^2 + z^2. Alors \langle 2x, 2y, 2z\rangle = \lambda\langle 1, 2, 2\rangle, donc (x, y, z) = t(1, 2, 2). La contrainte donne t + 4t + 4t = 9, donc t = 1. Le point est (1, 2, 2) et la distance vaut \sqrt{1 + 4 + 4} = 3.

10. Minimisez S = 2(xy + yz + xz) sous la contrainte xyz = 8. Les équations 2(y + z) = \lambda yz, 2(x + z) = \lambda xz et 2(x + y) = \lambda xy donnent x = y = z. Alors x^3 = 8, donc la boîte est un cube 2\times 2\times 2 avec S = 24.

11. Maximisez xy sous la contrainte 2x + 2y = 40. Alors y = 2\lambda et x = 2\lambda, donc x = y = 10 et l'aire vaut 100.

12. Dans l'exercice 1, \lambda = x = 5. Passer la contrainte de 10 à 11 devrait augmenter le maximum d'environ 5, soit 30. Le maximum exact pour x + y = 11 est 5.5^2 = 30.25. C'est très proche.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Diviser par une variable qui peut valoir 0. Dans les exercices 5 et 6, étudiez séparément les cas x = 0 ou y = 0.
• Oublier l'équation de contrainte. \nabla f = \lambda\nabla g seule a trop d'inconnues. La contrainte fournit l'équation manquante.
• S'arrêter à un seul point. Sur un cercle, il y a à la fois un maximum et un minimum. Trouvez toutes les solutions et comparez.
• Minimiser une distance avec une racine carrée. Minimisez plutôt le carré de la distance. Le point de minimum est le même et les dérivées sont plus simples.

Continuer à s'entraîner

Pour des exercices en nombre illimité avec correction immédiate, essayez la leçon sur les multiplicateurs de Lagrange et la leçon sur les points critiques et le test de la dérivée seconde. Pour vous entraîner aux gradients dont ces exercices ont besoin, voyez les exercices sur les dérivées partielles.