Aufgaben zu Lagrange-Multiplikatoren mit Lösungen

Diese Aufgaben zu Lagrange-Multiplikatoren behandeln Aufgaben mit zwei Variablen auf Geraden und Kreisen, die Suche nach dem nächstgelegenen Punkt, Aufgaben mit drei Variablen und die Bedeutung von \lambda. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen zuerst, danach folgen die ausführlichen Lösungswege.

Das Verfahren, um Extremwerte von f unter der Nebenbedingung g = k zu finden:

Löse das Gleichungssystem und vergleiche dann f an jeder Lösung. Die Geometrie dahinter erklärt der Leitfaden zu Lagrange-Multiplikatoren.

Aufgaben

Nebenbedingung auf einer Geraden

1. Maximiere f(x, y) = xy unter der Nebenbedingung x + y = 10.
2. Minimiere f(x, y) = x^2 + y^2 unter der Nebenbedingung x + y = 4.
3. Bestimme den Punkt auf der Geraden 2x + y = 5, der dem Ursprung am nächsten liegt.

Nebenbedingung auf einem Kreis

4. Bestimme Maximum und Minimum von f(x, y) = x + y auf x^2 + y^2 = 2.
5. Bestimme Maximum und Minimum von f(x, y) = xy auf x^2 + y^2 = 8.
6. Bestimme Maximum und Minimum von f(x, y) = x^2y auf x^2 + y^2 = 3.
7. Bestimme Maximum und Minimum von f(x, y) = 2x + 3y auf x^2 + y^2 = 13.

Drei Variablen und Anwendungen

8. Maximiere f(x, y, z) = xyz unter der Nebenbedingung x + y + z = 12 mit x, y, z > 0.
9. Bestimme den Punkt auf der Ebene x + 2y + 2z = 9, der dem Ursprung am nächsten liegt.
10. Ein geschlossener Quader hat das Volumen 8. Bestimme die Maße mit dem kleinsten Oberflächeninhalt.
11. Ein Rechteck hat den Umfang 40. Bestimme seinen größtmöglichen Flächeninhalt.
12. Bestimme in Aufgabe 1 den Wert von \lambda. Schätze damit das neue Maximum, wenn die Nebenbedingung zu x + y = 11 wird, und vergleiche mit dem exakten Wert.

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. \nabla f = \langle y, x\rangle und \nabla g = \langle 1, 1\rangle. Also ist y = \lambda und x = \lambda, woraus x = y folgt. Die Nebenbedingung liefert x = y = 5 und f = 25.

2. \langle 2x, 2y\rangle = \lambda\langle 1, 1\rangle, also x = y = 2 und f = 8. Entlang der Geraden wächst x^2 + y^2 unbeschränkt, daher ist das ein Minimum.

3. Minimiere das Abstandsquadrat x^2 + y^2. Dann gilt 2x = 2\lambda und 2y = \lambda, also x = 2y. Die Nebenbedingung liefert 4y + y = 5, also y = 1 und x = 2. Der Abstand ist \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}.

4. \langle 1, 1\rangle = \lambda\langle 2x, 2y\rangle, also x = y. Dann ist 2x^2 = 2, also x = \pm 1. Vergleiche: f(1, 1) = 2 und f(-1, -1) = -2.

5. y = 2\lambda x und x = 2\lambda y. Multipliziere: xy = 4\lambda^2 xy. Ist xy \neq 0, dann folgt \lambda = \pm\frac{1}{2} und x^2 = y^2. Die Nebenbedingung liefert x^2 = 4. Die Punkte (2, 2) und (-2, -2) ergeben 4, die Punkte (2, -2) und (-2, 2) ergeben -4. Ist xy = 0, dann ist f = 0, also weder Maximum noch Minimum.

6. 2xy = 2\lambda x und x^2 = 2\lambda y. Ist x \neq 0, liefert die erste Gleichung \lambda = y und die zweite x^2 = 2y^2. Die Nebenbedingung wird zu 3y^2 = 3, also y = \pm 1 und x = \pm\sqrt{2}. Dann ist f = x^2y = 2y, also 2 oder -2. Der Fall x = 0 ergibt f = 0.

7. 2 = 2\lambda x und 3 = 2\lambda y, also \frac{y}{x} = \frac{3}{2} und y = \frac{3}{2}x. Die Nebenbedingung liefert x^2 + \frac{9}{4}x^2 = 13, also x^2 = 4 und x = \pm 2. Die Punkte (2, 3) und (-2, -3) ergeben 13 und -13.

8. yz = \lambda, xz = \lambda und xy = \lambda. Der Vergleich ergibt x = y = z, also ist jede Variable 4 und f = 64.

9. Minimiere x^2 + y^2 + z^2. Dann gilt \langle 2x, 2y, 2z\rangle = \lambda\langle 1, 2, 2\rangle, also (x, y, z) = t(1, 2, 2). Die Nebenbedingung liefert t + 4t + 4t = 9, also t = 1. Der Punkt ist (1, 2, 2) und der Abstand \sqrt{1 + 4 + 4} = 3.

10. Minimiere S = 2(xy + yz + xz) unter der Nebenbedingung xyz = 8. Die Gleichungen 2(y + z) = \lambda yz, 2(x + z) = \lambda xz und 2(x + y) = \lambda xy ergeben x = y = z. Dann ist x^3 = 8, der Quader ist also ein Würfel 2\times 2\times 2 mit S = 24.

11. Maximiere xy unter der Nebenbedingung 2x + 2y = 40. Dann gilt y = 2\lambda und x = 2\lambda, also x = y = 10, und der Flächeninhalt ist 100.

12. In Aufgabe 1 ist \lambda = x = 5. Erhöht man die Nebenbedingung von 10 auf 11, sollte das Maximum um etwa 5 auf 30 steigen. Das exakte Maximum für x + y = 11 ist 5.5^2 = 30.25. Sehr nah dran.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Durch eine Variable dividieren, die 0 sein könnte. Prüfe in den Aufgaben 5 und 6 die Fälle x = 0 oder y = 0 getrennt.
• Die Nebenbedingung vergessen. \nabla f = \lambda\nabla g allein hat zu viele Unbekannte. Die Nebenbedingung ist die zusätzliche Gleichung.
• Bei einem Punkt aufhören. Auf einem Kreis gibt es sowohl ein Maximum als auch ein Minimum. Bestimme jede Lösung und vergleiche.
• Den Abstand mit Wurzel minimieren. Minimiere stattdessen das Abstandsquadrat. Es hat dieselbe Minimumstelle und einfachere Ableitungen.

Weiter üben

Für unbegrenzt viele Aufgaben mit sofortigem Feedback probiere die Lektion zu Lagrange-Multiplikatoren und die Lektion zu kritischen Punkten und dem Test mit der zweiten Ableitung. Zum Üben der Gradienten, die diese Aufgaben brauchen, nutze die Aufgaben zu partiellen Ableitungen.