Ejercicios de multiplicadores de Lagrange resueltos con respuestas

Estos ejercicios de multiplicadores de Lagrange cubren problemas de dos variables sobre rectas y circunferencias, problemas de punto más cercano, problemas de tres variables y el significado de \lambda. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero y después las soluciones completas.

El método para hallar los valores extremos de f sujeta a g = k:

Resuelve el sistema y compara f en todas las soluciones. Para entender la geometría que hay detrás, lee la guía de multiplicadores de Lagrange.

Ejercicios

Restricción sobre una recta

1. Maximiza f(x, y) = xy sujeta a x + y = 10.
2. Minimiza f(x, y) = x^2 + y^2 sujeta a x + y = 4.
3. Halla el punto de la recta 2x + y = 5 más cercano al origen.

Restricción sobre una circunferencia

4. Halla el máximo y el mínimo de f(x, y) = x + y sobre x^2 + y^2 = 2.
5. Halla el máximo y el mínimo de f(x, y) = xy sobre x^2 + y^2 = 8.
6. Halla el máximo y el mínimo de f(x, y) = x^2y sobre x^2 + y^2 = 3.
7. Halla el máximo y el mínimo de f(x, y) = 2x + 3y sobre x^2 + y^2 = 13.

Tres variables y aplicaciones

8. Maximiza f(x, y, z) = xyz sujeta a x + y + z = 12, con x, y, z > 0.
9. Halla el punto del plano x + 2y + 2z = 9 más cercano al origen.
10. Una caja cerrada tiene volumen 8. Halla las dimensiones con la menor área superficial.
11. Un rectángulo tiene perímetro 40. Halla su mayor área posible.
12. En el ejercicio 1, halla \lambda. Úsalo para estimar el nuevo máximo si la restricción pasa a ser x + y = 11, y compáralo con el valor exacto.

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. \nabla f = \langle y, x\rangle y \nabla g = \langle 1, 1\rangle. Así que y = \lambda y x = \lambda, lo que da x = y. La restricción da x = y = 5 y f = 25.

2. \langle 2x, 2y\rangle = \lambda\langle 1, 1\rangle, así que x = y = 2 y f = 8. A lo largo de la recta, x^2 + y^2 crece sin cota, así que es un mínimo.

3. Minimiza la distancia al cuadrado x^2 + y^2. Entonces 2x = 2\lambda y 2y = \lambda, así que x = 2y. La restricción da 4y + y = 5, así que y = 1 y x = 2. La distancia es \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}.

4. \langle 1, 1\rangle = \lambda\langle 2x, 2y\rangle, así que x = y. Entonces 2x^2 = 2, así que x = \pm 1. Compara: f(1, 1) = 2 y f(-1, -1) = -2.

5. y = 2\lambda x y x = 2\lambda y. Multiplica: xy = 4\lambda^2 xy. Si xy \neq 0, entonces \lambda = \pm\frac{1}{2} y x^2 = y^2. La restricción da x^2 = 4. Los puntos (2, 2) y (-2, -2) dan 4; (2, -2) y (-2, 2) dan -4. Si xy = 0 entonces f = 0, que no es ni máximo ni mínimo.

6. 2xy = 2\lambda x y x^2 = 2\lambda y. Si x \neq 0, la primera da \lambda = y, y la segunda da x^2 = 2y^2. La restricción queda 3y^2 = 3, así que y = \pm 1 y x = \pm\sqrt{2}. Entonces f = x^2y = 2y, que vale 2 o -2. El caso x = 0 da f = 0.

7. 2 = 2\lambda x y 3 = 2\lambda y, así que \frac{y}{x} = \frac{3}{2} e y = \frac{3}{2}x. La restricción da x^2 + \frac{9}{4}x^2 = 13, así que x^2 = 4 y x = \pm 2. Los puntos (2, 3) y (-2, -3) dan 13 y -13.

8. yz = \lambda, xz = \lambda y xy = \lambda. Comparándolas se obtiene x = y = z, así que cada una vale 4 y f = 64.

9. Minimiza x^2 + y^2 + z^2. Entonces \langle 2x, 2y, 2z\rangle = \lambda\langle 1, 2, 2\rangle, así que (x, y, z) = t(1, 2, 2). La restricción da t + 4t + 4t = 9, así que t = 1. El punto es (1, 2, 2) y la distancia es \sqrt{1 + 4 + 4} = 3.

10. Minimiza S = 2(xy + yz + xz) sujeta a xyz = 8. Las ecuaciones 2(y + z) = \lambda yz, 2(x + z) = \lambda xz y 2(x + y) = \lambda xy dan x = y = z. Entonces x^3 = 8, así que la caja es un cubo de 2\times 2\times 2 con S = 24.

11. Maximiza xy sujeta a 2x + 2y = 40. Entonces y = 2\lambda y x = 2\lambda, así que x = y = 10 y el área es 100.

12. En el ejercicio 1, \lambda = x = 5. Pasar la restricción de 10 a 11 debería aumentar el máximo en aproximadamente 5, hasta 30. El máximo exacto para x + y = 11 es 5.5^2 = 30.25. Muy cerca.

Errores comunes en estos ejercicios

• Dividir entre una variable que podría ser 0. En los ejercicios 5 y 6, revisa por separado los casos x = 0 o y = 0.
• Olvidar la ecuación de la restricción. \nabla f = \lambda\nabla g por sí sola tiene demasiadas incógnitas. La restricción es la ecuación que falta.
• Quedarse en un solo punto. Sobre una circunferencia hay un máximo y un mínimo. Halla todas las soluciones y compara.
• Minimizar la distancia con raíz cuadrada. Minimiza en su lugar la distancia al cuadrado. Tiene el mismo punto mínimo y derivadas más sencillas.

Sigue practicando

Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la lección de multiplicadores de Lagrange y la lección de puntos críticos y criterio de la segunda derivada. Para practicar con los gradientes que necesitan estos ejercicios, consulta los ejercicios de derivadas parciales.