Otimização: exercícios resolvidos de cálculo com respostas

Estes exercícios de otimização pedem o maior ou o menor valor de algo concreto: uma área, um volume, uma distância, um custo ou um tempo. Monte cada um sozinho antes de conferir. As respostas vêm logo depois da lista, seguidas das resoluções completas.

Todo problema segue os mesmos passos:

1. Faça um desenho e dê nome às variáveis.
2. Escreva a grandeza a otimizar (a função objetivo).
3. Use a restrição para escrevê-la em função de uma variável e encontre o domínio.
4. Iguale a derivada a 0 e resolva.
5. Confirme se é máximo ou mínimo e responda à pergunta com unidades.

Para saber mais sobre o método, leia o guia de problemas de otimização.

Exercícios

Números

1. Dois números positivos somam 20. Qual é o maior produto possível?
2. Dois números positivos têm produto 16. Qual é a menor soma possível?

Cercas e caixas

3. Cerca à beira do rio. Um fazendeiro tem 240 m de cerca para fazer um cercado retangular ao longo de um rio reto. Não é preciso cercar o lado do rio. Quais dimensões dão a maior área?
4. Caixa sem tampa. Uma caixa sem tampa é feita a partir de uma folha de papelão de 12 in por 12 in, cortando quadrados iguais em cada canto e dobrando as laterais. Qual tamanho de quadrado dá o maior volume?
5. Caixa de base quadrada. Uma caixa sem tampa e de base quadrada deve comportar 32{,}000 cm³. Quais dimensões usam a menor quantidade de material?
6. Lata de sopa. Uma lata cilíndrica fechada deve comportar 500 cm³. Qual raio e qual altura usam a menor quantidade de metal?

Geometria e distância

7. Retângulo em um semicírculo. Um retângulo está dentro de um semicírculo de raio 10, com a base sobre o diâmetro. Qual é a maior área possível?
8. Ponto mais próximo. Qual ponto da curva y = \sqrt{x} está mais próximo do ponto (3, 0)?

Negócios e movimento

9. Preço do ingresso. Ao preço de p dólares, um teatro vende 600 - 20p ingressos. Qual preço dá a maior receita?
10. Barco a remo. Você está em um barco a remo a 3 km de uma costa reta. Quer chegar a uma cidade na costa, 8 km adiante do ponto mais próximo. Você rema a 2 km/h e caminha a 4 km/h. Onde deve desembarcar para chegar o mais rápido possível?

Respostas

Resoluções passo a passo

1. Sejam os números x e 20 - x, com 0 < x < 20. Maximize P = x(20 - x) = 20x - x^2:

P'' = -2 < 0, então é um máximo. Os números são 10 e 10, e o produto é 100.

2. Sejam os números x e \frac{16}{x}, com x > 0. Minimize S = x + \frac{16}{x}:

S'' = \frac{32}{x^3} > 0, então é um mínimo. Os números são 4 e 4, e a soma é 8.

3. Seja x cada lado perpendicular ao rio. O lado ao longo do rio mede 240 - 2x, com 0 < x < 120. Maximize

A'' = -4 < 0, então é um máximo. O cercado mede 60 m por 120 m, com área 7200 m².

4. Seja x o lado de cada quadrado. A base mede 12 - 2x de cada lado e a altura é x, com 0 < x < 6:

Use a regra do produto e fatore:

V' = 0 em x = 6 (uma extremidade, onde V = 0) e em x = 2. Como V vale 0 nas duas extremidades e é positivo entre elas, x = 2 dá o máximo: V = 2\cdot 8^2 = 128 in³.

5. Seja a base x por x e a altura h. A restrição é x^2h = 32000, então h = \frac{32000}{x^2}. O material é a base mais as quatro laterais:

Então x^3 = 64000 e x = 40. Logo h = \frac{32000}{1600} = 20. Como S'' = 2 + \frac{256000}{x^3} > 0, é um mínimo, e S = 1600 + 3200 = 4800 cm².

6. Uma lata fechada tem dois círculos e uma lateral: S = 2\pi r^2 + 2\pi rh. A restrição \pi r^2h = 500 dá h = \frac{500}{\pi r^2}:

Então r = \sqrt[3]{250/\pi} \approx 4.30 cm. S'' = 4\pi + \frac{2000}{r^3} > 0, então é um mínimo. Daí h = \frac{500}{\pi r^2}. Como \pi r^3 = 250, isso dá h = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r \approx 8.60 cm. A melhor lata tem altura igual ao diâmetro.

7. Coloque o centro do semicírculo na origem. Um vértice do retângulo fica em (x, y) sobre a curva y = \sqrt{100 - x^2}. A largura é 2x:

Então x = 5\sqrt{2} e y = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. A área é 2(5\sqrt{2})(5\sqrt{2}) = 100. Nas extremidades A = 0, então este é o máximo.

8. Um ponto da curva é (x, \sqrt{x}). Minimize o quadrado da distância, que tem o mínimo no mesmo lugar e é mais fácil de derivar:

A segunda derivada é 2 > 0, então é um mínimo. O ponto é \left(\frac{5}{2}, \sqrt{\frac{5}{2}}\right) e a distância é \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1.66.

9. A receita é o preço vezes os ingressos vendidos, com 0 \le p \le 30:

R'' = -40 < 0, então é um máximo. São vendidos 300 ingressos, com R = 4500 dólares.

10. Desembarque a x km do ponto mais próximo, com 0 \le x \le 8. A distância remando é \sqrt{9 + x^2} e a distância caminhando é 8 - x. Tempo é distância dividida por velocidade:

Então 2x = \sqrt{9 + x^2}, o que dá 4x^2 = 9 + x^2 e x = \sqrt{3} \approx 1.73. Compare com as extremidades:

Desembarcar \sqrt{3} km adiante na costa é o mais rápido.

Erros comuns nestes exercícios

• Derivar com duas variáveis. No exercício 5, use o volume para substituir h antes de derivar.
• Ignorar as extremidades. Em um intervalo fechado, como no exercício 10, a melhor resposta pode estar em uma extremidade. Sempre compare.
• Responder à pergunta errada. O exercício 4 pede o tamanho dos quadrados, então a resposta é 2 in, e não apenas o volume.
• Esquecer que o lado do rio não precisa de cerca. No exercício 3 há só três lados de cerca: 2x + y = 240.

Continue praticando

Estes 10 exercícios usam números fixos. Para praticar sem limite, com novos números e correção na hora em cada passo, faça a lição de otimização e a lição de extremos absolutos. Para entender por que o método dos pontos críticos funciona, leia sobre o Teorema de Fermat e o Teorema do Valor Extremo, ou pratique a busca de extremos com os exercícios de esboço de gráficos.