Ejercicios resueltos de optimización con derivadas y soluciones

Estos ejercicios de optimización piden el mayor o el menor valor de algo real: un área, un volumen, una distancia, un coste o un tiempo. Plantea cada uno por tu cuenta antes de comprobarlo. Las respuestas aparecen justo después de la lista, y luego las soluciones completas.

Todos los problemas siguen los mismos pasos:

1. Haz un dibujo y nombra las variables.
2. Escribe la magnitud a optimizar (la función objetivo).
3. Usa la restricción para escribirla en función de una sola variable y halla el dominio.
4. Iguala la derivada a 0 y resuelve.
5. Confirma que es un máximo o un mínimo y responde a la pregunta con unidades.

Para saber más sobre el método, lee la guía de problemas de optimización.

Ejercicios

Números

1. Dos números positivos suman 20. ¿Cuál es el mayor producto posible?
2. Dos números positivos tienen producto 16. ¿Cuál es la menor suma posible?

Vallas y cajas

3. Valla junto al río. Un granjero tiene 240 m de valla para hacer un corral rectangular junto a un río recto. No hace falta valla a lo largo del río. ¿Qué dimensiones dan el área máxima?
4. Caja sin tapa. Se hace una caja sin tapa con una lámina de cartón de 12 in por 12 in (pulgadas), recortando cuadrados iguales en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. ¿De qué tamaño deben ser los cuadrados para que el volumen sea máximo?
5. Caja de base cuadrada. Una caja sin tapa de base cuadrada debe tener una capacidad de 32{,}000 cm³. ¿Qué dimensiones usan la menor cantidad de material?
6. Lata de sopa. Una lata cilíndrica cerrada debe tener una capacidad de 500 cm³. ¿Qué radio y qué altura usan la menor cantidad de metal?

Geometría y distancia

7. Rectángulo en un semicírculo. Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de radio 10, con la base sobre el diámetro. ¿Cuál es el área máxima posible?
8. Punto más cercano. ¿Qué punto de la curva y = \sqrt{x} está más cerca del punto (3, 0)?

Economía y movimiento

9. Precio de la entrada. A un precio de p dólares, un teatro vende 600 - 20p entradas. ¿Qué precio da el máximo ingreso?
10. Bote de remos. Estás en un bote a 3 km de una costa recta. Quieres llegar a un pueblo de la costa que está a 8 km del punto más cercano. Remas a 2 km/h y caminas a 4 km/h. ¿Dónde debes desembarcar para llegar lo antes posible?

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Sean los números x y 20 - x, con 0 < x < 20. Maximiza P = x(20 - x) = 20x - x^2:

P'' = -2 < 0, así que es un máximo. Los números son 10 y 10, y el producto es 100.

2. Sean los números x y \frac{16}{x}, con x > 0. Minimiza S = x + \frac{16}{x}:

S'' = \frac{32}{x^3} > 0, así que es un mínimo. Los números son 4 y 4, y la suma es 8.

3. Sea x cada lado perpendicular al río. El lado paralelo al río mide 240 - 2x, con 0 < x < 120. Maximiza

A'' = -4 < 0, así que es un máximo. El corral mide 60 m por 120 m, con un área de 7200 m².

4. Sea x el lado de cada cuadrado. La base mide 12 - 2x de lado y la altura es x, con 0 < x < 6:

Usa la regla del producto y factoriza:

V' = 0 en x = 6 (un extremo, donde V = 0) y en x = 2. Como V vale 0 en ambos extremos y es positivo entre ellos, x = 2 da el máximo: V = 2\cdot 8^2 = 128 in³.

5. Sea la base de x por x y la altura h. La restricción es x^2h = 32000, así que h = \frac{32000}{x^2}. El material es la base más las cuatro caras laterales:

Así que x^3 = 64000 y x = 40. Entonces h = \frac{32000}{1600} = 20. Como S'' = 2 + \frac{256000}{x^3} > 0, es un mínimo, y S = 1600 + 3200 = 4800 cm².

6. Una lata cerrada tiene dos círculos y una superficie lateral: S = 2\pi r^2 + 2\pi rh. La restricción \pi r^2h = 500 da h = \frac{500}{\pi r^2}:

Así que r = \sqrt[3]{250/\pi} \approx 4.30 cm. S'' = 4\pi + \frac{2000}{r^3} > 0, así que es un mínimo. Entonces h = \frac{500}{\pi r^2}. Como \pi r^3 = 250, esto es h = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r \approx 8.60 cm. La mejor lata es tan alta como ancha.

7. Coloca el centro del semicírculo en el origen. Una esquina del rectángulo está en (x, y) sobre la curva y = \sqrt{100 - x^2}. El ancho es 2x:

Así que x = 5\sqrt{2} e y = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. El área es 2(5\sqrt{2})(5\sqrt{2}) = 100. En los extremos A = 0, así que es el máximo.

8. Un punto de la curva es (x, \sqrt{x}). Minimiza el cuadrado de la distancia, que tiene el mínimo en el mismo lugar y es más fácil de derivar:

La segunda derivada es 2 > 0, así que es un mínimo. El punto es \left(\frac{5}{2}, \sqrt{\frac{5}{2}}\right) y la distancia es \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1.66.

9. El ingreso es el precio por las entradas vendidas, con 0 \le p \le 30:

R'' = -40 < 0, así que es un máximo. Se venden 300 entradas y R = 4500 dólares.

10. Desembarca a x km del punto más cercano, con 0 \le x \le 8. La distancia remando es \sqrt{9 + x^2} y la distancia caminando es 8 - x. El tiempo es la distancia entre la velocidad:

Así que 2x = \sqrt{9 + x^2}, lo que da 4x^2 = 9 + x^2 y x = \sqrt{3} \approx 1.73. Compara con los extremos:

Desembarcar a \sqrt{3} km por la costa es lo más rápido.

Errores comunes en estos ejercicios

• Derivar con dos variables. En el ejercicio 5, usa el volumen para sustituir h antes de derivar.
• Olvidar los extremos. En un intervalo cerrado como en el ejercicio 10, la mejor respuesta podría estar en un extremo. Compara siempre.
• Responder a otra pregunta. El ejercicio 4 pide el tamaño de los cuadrados, así que la respuesta es 2 in, no solo el volumen.
• Olvidar que el lado del río no lleva valla. En el ejercicio 3 solo hay tres lados de valla: 2x + y = 240.

Sigue practicando

Estos 10 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con números nuevos y corrección al instante en cada paso, prueba la lección de optimización y la lección de extremos absolutos. Para ver por qué funciona el método de los puntos críticos, lee sobre el teorema de Fermat y el Teorema del Valor Extremo, o practica cómo hallar extremos con los ejercicios de representación de funciones.