Optimisation : exercices corrigés de problèmes concrets

Ces exercices d'optimisation demandent la plus grande ou la plus petite valeur d'une grandeur concrète : une aire, un volume, une distance, un coût ou une durée. Mettez chaque problème en équation vous-même avant de vérifier. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions complètes.

Chaque problème suit les mêmes étapes :

1. Faire un schéma et nommer les variables.
2. Écrire la grandeur à optimiser (la fonction objectif).
3. Utiliser la contrainte pour l'écrire en fonction d'une seule variable, et déterminer le domaine.
4. Annuler la dérivée en la posant égale à 0 et résoudre.
5. Confirmer qu'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum, puis répondre à la question avec les unités.

Pour en savoir plus sur la méthode, lisez le guide des problèmes d'optimisation.

Exercices

Nombres

1. Deux nombres positifs ont pour somme 20. Quel est le plus grand produit possible ?
2. Deux nombres positifs ont pour produit 16. Quelle est la plus petite somme possible ?

Clôtures et boîtes

3. Clôture le long d'une rivière. Un agriculteur dispose de 240 m de clôture pour faire un enclos rectangulaire le long d'une rivière rectiligne. Aucune clôture n'est nécessaire le long de la rivière. Quelles dimensions donnent la plus grande aire ?
4. Boîte ouverte. On fabrique une boîte sans couvercle à partir d'une feuille de carton de 12 pouces sur 12 pouces en découpant des carrés égaux à chaque coin et en repliant les bords. Quelle taille de carrés donne le plus grand volume ?
5. Boîte à base carrée. Une boîte sans couvercle à base carrée doit contenir 32{,}000 cm³. Quelles dimensions utilisent le moins de matériau ?
6. Boîte de conserve. Une boîte cylindrique fermée doit contenir 500 cm³. Quels rayon et hauteur utilisent le moins de métal ?

Géométrie et distance

7. Rectangle dans un demi-cercle. Un rectangle est inscrit dans un demi-cercle de rayon 10, sa base reposant sur le diamètre. Quelle est la plus grande aire possible ?
8. Point le plus proche. Quel point de la courbe y = \sqrt{x} est le plus proche du point (3, 0) ?

Économie et déplacement

9. Prix du billet. Au prix de p dollars, un théâtre vend 600 - 20p billets. Quel prix donne la plus grande recette ?
10. Barque. Vous êtes dans une barque à 3 km d'un rivage rectiligne. Vous voulez rejoindre une ville sur le rivage, située à 8 km le long de la côte à partir du point le plus proche. Vous ramez à 2 km/h et marchez à 4 km/h. Où devez-vous accoster pour arriver le plus tôt possible ?

Réponses

Solutions détaillées

1. Notons les nombres x et 20 - x, avec 0 < x < 20. On maximise P = x(20 - x) = 20x - x^2 :

P'' = -2 < 0, donc c'est un maximum. Les nombres sont 10 et 10, et le produit vaut 100.

2. Notons les nombres x et \frac{16}{x}, avec x > 0. On minimise S = x + \frac{16}{x} :

S'' = \frac{32}{x^3} > 0, donc c'est un minimum. Les nombres sont 4 et 4, et la somme vaut 8.

3. Soit x la longueur de chaque côté perpendiculaire à la rivière. Le côté le long de la rivière mesure 240 - 2x, avec 0 < x < 120. On maximise

A'' = -4 < 0, donc c'est un maximum. L'enclos mesure 60 m sur 120 m, pour une aire de 7200 m².

4. Soit x le côté de chaque carré. La base mesure 12 - 2x de côté et la hauteur vaut x, avec 0 < x < 6 :

Utilisez la règle du produit et factorisez :

V' = 0 en x = 6 (une borne, où V = 0) et en x = 2. Comme V vaut 0 aux deux bornes et est positif entre les deux, x = 2 donne le maximum : V = 2\cdot 8^2 = 128 pouces³.

5. Notons x sur x la base et h la hauteur. La contrainte est x^2h = 32000, donc h = \frac{32000}{x^2}. Le matériau correspond à la base plus les quatre faces latérales :

Donc x^3 = 64000 et x = 40. Alors h = \frac{32000}{1600} = 20. Comme S'' = 2 + \frac{256000}{x^3} > 0, c'est un minimum, et S = 1600 + 3200 = 4800 cm².

6. Une boîte fermée a deux disques et une surface latérale : S = 2\pi r^2 + 2\pi rh. La contrainte \pi r^2h = 500 donne h = \frac{500}{\pi r^2} :

Donc r = \sqrt[3]{250/\pi} \approx 4.30 cm. S'' = 4\pi + \frac{2000}{r^3} > 0, donc c'est un minimum. Ensuite h = \frac{500}{\pi r^2}. Comme \pi r^3 = 250, cela donne h = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r \approx 8.60 cm. La meilleure boîte est aussi haute que large.

7. Placez le centre du demi-cercle à l'origine. Un coin du rectangle est en (x, y) sur la courbe y = \sqrt{100 - x^2}. La largeur vaut 2x :

Donc x = 5\sqrt{2} et y = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. L'aire vaut 2(5\sqrt{2})(5\sqrt{2}) = 100. Aux bornes, A = 0, donc c'est le maximum.

8. Un point de la courbe s'écrit (x, \sqrt{x}). On minimise le carré de la distance, qui atteint son minimum au même endroit et se dérive plus facilement :

La dérivée seconde vaut 2 > 0, donc c'est un minimum. Le point est \left(\frac{5}{2}, \sqrt{\frac{5}{2}}\right) et la distance vaut \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1.66.

9. La recette est le prix multiplié par le nombre de billets vendus, avec 0 \le p \le 30 :

R'' = -40 < 0, donc c'est un maximum. Le théâtre vend 300 billets pour R = 4500 dollars.

10. Accostez à x km du point le plus proche, avec 0 \le x \le 8. La distance à la rame est \sqrt{9 + x^2} et la distance à pied est 8 - x. La durée est la distance divisée par la vitesse :

Donc 2x = \sqrt{9 + x^2}, ce qui donne 4x^2 = 9 + x^2 et x = \sqrt{3} \approx 1.73. Comparez avec les bornes :

Accoster à \sqrt{3} km le long de la côte est le plus rapide.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Dériver avec deux variables. Dans l'exercice 5, utilisez le volume pour remplacer h avant de dériver.
• Oublier les bornes. Sur un intervalle fermé comme dans l'exercice 10, la meilleure réponse peut se trouver à une borne. Comparez toujours.
• Répondre à la mauvaise question. L'exercice 4 demande la taille des carrés, donc la réponse est 2 pouces, pas seulement le volume.
• Oublier que le côté rivière est gratuit. Dans l'exercice 3, il n'y a que trois côtés de clôture : 2x + y = 240.

Continuer à s'entraîner

Ces 10 exercices utilisent des nombres fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouveaux nombres et une correction immédiate à chaque étape, essayez la leçon sur l'optimisation et la leçon sur les extremums globaux. Pour comprendre pourquoi la méthode des points critiques fonctionne, lisez les pages sur le théorème de Fermat et le théorème des bornes atteintes, ou entraînez-vous à trouver des extremums avec les exercices sur l'étude de fonctions.