Exercícios de regra da cadeia resolvidos, com respostas

Estes exercícios de regra da cadeia começam com uma única camada e avançam até funções com várias camadas e combinações com as regras do produto e do quociente. Tente cada um antes de ler a resolução. As respostas aparecem primeiro para você conferir rapidamente, e as resoluções completas vêm em seguida.

A regra de que você precisa:

Derive a função de fora, deixe a de dentro como está e multiplique pela derivada da função de dentro. Para revisar, leia primeiro a página da regra da cadeia.

Exercícios

Uma camada

1. y = (3x + 1)^5
2. y = \sqrt{x^2 + 9}
3. y = \sin(4x)
4. y = e^{x^2}
5. y = \ln(x^3 + 2x)
6. y = \dfrac{1}{(2x - 5)^3}

Duas ou mais camadas

7. y = \sin^2(4x)
8. y = e^{\cos x}
9. y = \tan\!\left(\sqrt{x}\right)

Com a regra do produto ou do quociente

10. y = x^2 \sin(3x)
11. y = x\,e^{-2x}
12. y = \dfrac{(x+1)^4}{x^2}

Respostas

Resolução passo a passo

1. A função de dentro é u = 3x + 1, com u' = 3. A de fora é u^5, cuja derivada é 5u^4:

2. Escreva y = (x^2 + 9)^{1/2}. A derivada da função de dentro é 2x:

3. A função de fora é \sin u, cuja derivada é \cos u, e u' = 4:

4. A derivada de e^u é e^u \cdot u', e u = x^2:

5. A derivada de \ln u é \frac{u'}{u} (veja a derivada de ln x):

6. Reescreva como y = (2x - 5)^{-3} e use a regra da potência na função de fora:

7. Há três camadas: um quadrado, um seno e 4x. Trabalhe de fora para dentro:

Com a identidade do arco duplo 2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta, isso é 4\sin(8x).

8. A função de fora é e^u, com u = \cos x e u' = -\sin x:

9. A função de fora é \tan u, com derivada \sec^2 u, e u = \sqrt{x} tem u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}:

10. Use a regra do produto, com a regra da cadeia em \sin(3x):

11. Regra do produto de novo. A derivada de e^{-2x} é -2e^{-2x}:

12. Use a regra do quociente, com a regra da cadeia no numerador:

Coloque 2x(x+1)^3 em evidência no numerador: 2x(x+1)^3\big(2x - (x + 1)\big) = 2x(x+1)^3(x-1). Simplifique um x:

Erros comuns nestes exercícios

• Esquecer a derivada da função de dentro. No exercício 3, \cos(4x) sozinho está errado. O fator 4 é justamente o ponto da regra da cadeia.
• Alterar a função de dentro. A derivada de \sin(4x) é 4\cos(4x), não 4\cos(4) nem \cos(4). A parte de dentro fica exatamente como estava.
• Pular uma camada. O exercício 7 tem três camadas, então a resposta tem três fatores. Conte-os antes de terminar.
• Expandir cedo demais. No exercício 1, expandir (3x+1)^5 primeiro é possível, mas é lento e propenso a erros. A regra da cadeia resolve em uma linha.

Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada, com números novos a cada vez e correção imediata em cada passo, experimente as lições de regra da cadeia e depois a prática mista de regra da cadeia. Para a teoria com mais exemplos, leia o guia da regra da cadeia.