Dérivation en chaîne : exercices corrigés avec solutions

Ces exercices sur la dérivation en chaîne commencent par une seule couche et vont jusqu'aux fonctions imbriquées et aux combinaisons avec les règles du produit et du quotient. Cherchez chaque exercice avant de lire la solution. Les réponses sont données d'abord pour vérifier rapidement, puis viennent les solutions détaillées.

La règle à connaître :

On dérive la fonction extérieure sans toucher à l'intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. Pour un rappel, lisez d'abord la page sur la règle de dérivation en chaîne.

Exercices

Une seule couche

1. y = (3x + 1)^5
2. y = \sqrt{x^2 + 9}
3. y = \sin(4x)
4. y = e^{x^2}
5. y = \ln(x^3 + 2x)
6. y = \dfrac{1}{(2x - 5)^3}

Deux couches ou plus

7. y = \sin^2(4x)
8. y = e^{\cos x}
9. y = \tan\!\left(\sqrt{x}\right)

Avec la règle du produit ou du quotient

10. y = x^2 \sin(3x)
11. y = x\,e^{-2x}
12. y = \dfrac{(x+1)^4}{x^2}

Réponses

Solutions détaillées

1. L'intérieur est u = 3x + 1 avec u' = 3. L'extérieur est u^5, de dérivée 5u^4 :

2. Écrivez y = (x^2 + 9)^{1/2}. La dérivée intérieure est 2x :

3. L'extérieur est \sin u, de dérivée \cos u, et u' = 4 :

4. La dérivée de e^u est e^u \cdot u', avec u = x^2 :

5. La dérivée de \ln u est \frac{u'}{u} (voir la dérivée de ln x) :

6. Réécrivez y = (2x - 5)^{-3}, puis appliquez la règle de la puissance à l'extérieur :

7. Il y a trois couches : un carré, un sinus et 4x. Travaillez de l'extérieur vers l'intérieur :

Avec la formule de duplication 2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta, on obtient 4\sin(8x).

8. L'extérieur est e^u avec u = \cos x et u' = -\sin x :

9. L'extérieur est \tan u, de dérivée \sec^2 u, et u = \sqrt{x} a pour dérivée u' = \frac{1}{2\sqrt{x}} :

10. Utilisez la règle du produit, avec la dérivation en chaîne pour \sin(3x) :

11. Encore la règle du produit. La dérivée de e^{-2x} est -2e^{-2x} :

12. Utilisez la règle du quotient, avec la dérivation en chaîne au numérateur :

Mettez 2x(x+1)^3 en facteur au numérateur : 2x(x+1)^3\big(2x - (x + 1)\big) = 2x(x+1)^3(x-1). Simplifiez par x :

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Oublier la dérivée intérieure. Dans l'exercice 3, \cos(4x) seul est faux. Le facteur 4 est tout l'intérêt de la dérivation en chaîne.
• Modifier l'intérieur. La dérivée de \sin(4x) est 4\cos(4x), pas 4\cos(4) ni \cos(4). L'intérieur reste exactement tel quel.
• Oublier une couche. L'exercice 7 a trois couches, donc la réponse a trois facteurs. Comptez-les avant de conclure.
• Développer trop tôt. Dans l'exercice 1, développer (3x+1)^5 d'abord est possible mais long et source d'erreurs. La dérivation en chaîne tient en une ligne.

Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des valeurs fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles valeurs à chaque fois et une correction immédiate à chaque étape, essayez les leçons sur la dérivation en chaîne, puis l'entraînement mixte sur la dérivation en chaîne. Pour la théorie avec plus d'exemples, lisez le guide de la dérivation en chaîne.