Exercícios de séries de potências resolvidos, com respostas

Estes exercícios de séries de potências cobrem raio e intervalo de convergência, análise dos extremos e a construção de novas séries a partir da série geométrica. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas.

As duas ferramentas:

Para mais exemplos, leia o guia de séries de potências.

Exercícios

Raio e intervalo de convergência

1. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}
2. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
3. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n!\,x^n
4. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x - 2)^n}{3^n}
5. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}
6. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{4^n}
7. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n(x + 1)^n
8. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x - 1)^n}{n}

Construindo séries

9. Encontre uma série de potências para \dfrac{1}{1 - 3x} e seu raio.
10. Encontre uma série de potências para \dfrac{x}{1 + x^2} e seu raio.
11. Derive \frac{1}{1 - x} para obter uma série para \frac{1}{(1 - x)^2}. Use-a para calcular \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}.
12. Integre uma série para \frac{1}{1 + x} para obter uma série para \ln(1 + x).

Respostas

Resolução passo a passo

1. Razão: \left|\frac{x^{n+1}}{n + 1}\cdot\frac{n}{x^n}\right| = \frac{n}{n + 1}|x| \to |x|. Então |x| < 1 e R = 1. Em x = 1: \sum\frac{1}{n} diverge. Em x = -1: \sum\frac{(-1)^n}{n} converge pelo teste da série alternada. Intervalo [-1, 1).

2. Razão: \frac{|x|}{n + 1} \to 0 < 1 para todo x. Então R = \infty. Esta é a série de e^x.

3. Razão: (n + 1)|x| \to \infty para todo x \neq 0. A série só converge no centro.

4. É uma série geométrica de razão \frac{x - 2}{3}. Ela converge quando |x - 2| < 3, ou seja, -1 < x < 5. Nos dois extremos os termos são (\pm 1)^n, que não tendem a 0, então ambos divergem.

5. Razão: \frac{n^2}{(n + 1)^2}|x| \to |x|, então R = 1. Em x = \pm 1, \sum\frac{(\pm 1)^n}{n^2} converge absolutamente, já que \sum\frac{1}{n^2} converge. Os dois extremos estão incluídos.

6. É uma série geométrica de razão -\frac{x^2}{4}. Ela converge quando \frac{x^2}{4} < 1, ou seja, |x| < 2. Em x = \pm 2 os termos são (-1)^n, e a série diverge.

7. Razão: \frac{n + 1}{n}|x + 1| \to |x + 1|, então a série converge para |x + 1| < 1, ou seja, -2 < x < 0. Nos dois extremos os termos n(\pm 1)^n crescem, então ambos divergem.

8. Razão: \frac{n}{n + 1}|2x - 1| \to |2x - 1|. Resolva |2x - 1| < 1: 0 < x < 1, com centro \frac{1}{2} e R = \frac{1}{2}. Em x = 1: \sum\frac{1}{n} diverge. Em x = 0: \sum\frac{(-1)^n}{n} converge. Intervalo [0, 1).

9. Troque x por 3x na série geométrica:

10. Troque x por -x^2 e depois multiplique por x:

11. Derive os dois lados de \frac{1}{1 - x} = \sum x^n:

Multiplique por x: \sum n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2}. Em x = \frac{1}{2}, isso dá \frac{1/2}{1/4} = 2.

12. \frac{1}{1 + x} = \sum(-1)^n x^n. Integre de 0 a x:

Deslocando o índice, chega-se à forma da tabela. O raio continua sendo 1.

Erros comuns nestes exercícios

• Pular os extremos. Os exercícios 1, 5 e 8 têm todos R = 1 ou R = \frac{1}{2}, mas comportamentos diferentes nos extremos.
• Esquecer o centro. No exercício 4 o centro é 2, então o intervalo é 2 \pm 3, e não \pm 3.
• Raio errado por causa do 2x. No exercício 8, |2x - 1| < 1 significa |x - \frac{1}{2}| < \frac{1}{2}, então R = \frac{1}{2}, e não 1.
• Deixar x dentro do limite. No teste da razão, |x| é uma constante. Calcule o limite em n e depois resolva para x.

Continue praticando

Para séries ilimitadas com correção imediata, faça a lição de séries de potências e raio. Em seguida, aprenda a construir a série de qualquer função nos exercícios de série de Taylor.