Séries entières : exercices corrigés avec solutions

Ces exercices sur les séries entières portent sur le rayon et l'intervalle de convergence, l'étude des bornes et la construction de nouvelles séries à partir de la série géométrique. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses viennent en premier, puis les solutions complètes.

Les deux outils :

Pour d'autres exemples, lisez le guide des séries entières.

Exercices

Rayon et intervalle de convergence

1. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}
2. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
3. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n!\,x^n
4. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x - 2)^n}{3^n}
5. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}
6. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{4^n}
7. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n(x + 1)^n
8. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x - 1)^n}{n}

Construire des séries

9. Trouvez une série entière pour \dfrac{1}{1 - 3x} et son rayon.
10. Trouvez une série entière pour \dfrac{x}{1 + x^2} et son rayon.
11. Dérivez \frac{1}{1 - x} pour obtenir une série de \frac{1}{(1 - x)^2}. Utilisez-la pour calculer \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}.
12. Intégrez une série de \frac{1}{1 + x} pour obtenir une série de \ln(1 + x).

Réponses

Solutions détaillées

1. Rapport : \left|\frac{x^{n+1}}{n + 1}\cdot\frac{n}{x^n}\right| = \frac{n}{n + 1}|x| \to |x|. Donc |x| < 1 et R = 1. En x = 1 : \sum\frac{1}{n} diverge. En x = -1 : \sum\frac{(-1)^n}{n} converge d'après le critère des séries alternées. Intervalle [-1, 1).

2. Rapport : \frac{|x|}{n + 1} \to 0 < 1 pour tout x. Donc R = \infty. C'est la série de e^x.

3. Rapport : (n + 1)|x| \to \infty pour tout x \neq 0. La série ne converge qu'en son centre.

4. C'est une série géométrique de raison \frac{x - 2}{3}. Elle converge quand |x - 2| < 3, c'est-à-dire -1 < x < 5. Aux deux bornes, les termes valent (\pm 1)^n, qui ne tendent pas vers 0, donc la série diverge aux deux bornes.

5. Rapport : \frac{n^2}{(n + 1)^2}|x| \to |x|, donc R = 1. En x = \pm 1, \sum\frac{(\pm 1)^n}{n^2} converge absolument, puisque \sum\frac{1}{n^2} converge. Les deux bornes sont incluses.

6. C'est une série géométrique de raison -\frac{x^2}{4}. Elle converge quand \frac{x^2}{4} < 1, c'est-à-dire |x| < 2. En x = \pm 2, les termes valent (-1)^n, et la série diverge.

7. Rapport : \frac{n + 1}{n}|x + 1| \to |x + 1|, donc la série converge pour |x + 1| < 1, c'est-à-dire -2 < x < 0. Aux deux bornes, les termes n(\pm 1)^n croissent, donc la série diverge aux deux bornes.

8. Rapport : \frac{n}{n + 1}|2x - 1| \to |2x - 1|. Résolvez |2x - 1| < 1 : 0 < x < 1, avec pour centre \frac{1}{2} et R = \frac{1}{2}. En x = 1 : \sum\frac{1}{n} diverge. En x = 0 : \sum\frac{(-1)^n}{n} converge. Intervalle [0, 1).

9. Remplacez x par 3x dans la série géométrique :

10. Remplacez x par -x^2, puis multipliez par x :

11. Dérivez les deux membres de \frac{1}{1 - x} = \sum x^n :

Multipliez par x : \sum n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2}. En x = \frac{1}{2}, cela donne \frac{1/2}{1/4} = 2.

12. \frac{1}{1 + x} = \sum(-1)^n x^n. Intégrez de 0 à x :

Un décalage d'indice donne la forme du tableau. Le rayon reste égal à 1.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Oublier les bornes. Les exercices 1, 5 et 8 ont tous R = 1 ou R = \frac{1}{2}, mais un comportement différent aux bornes.
• Oublier le centre. Dans l'exercice 4, le centre est 2, donc l'intervalle est 2 \pm 3, et non \pm 3.
• Un mauvais rayon à cause de 2x. Dans l'exercice 8, |2x - 1| < 1 signifie |x - \frac{1}{2}| < \frac{1}{2}, donc R = \frac{1}{2}, et non 1.
• Garder x dans la limite. Dans le critère de d'Alembert, |x| est une constante. Calculez la limite en n, puis résolvez en x.

Continuer à s'entraîner

Pour des séries illimitées avec une correction immédiate, essayez la leçon sur les séries entières et le rayon. Ensuite, apprenez à construire la série de n'importe quelle fonction avec les exercices sur les séries de Taylor.