Ejercicios resueltos de series de potencias con soluciones

Estos ejercicios de series de potencias cubren el radio y el intervalo de convergencia, el estudio de los extremos y la construcción de series nuevas a partir de la serie geométrica. Intenta cada uno primero. Primero van las respuestas y después las soluciones completas.

Las dos herramientas:

Para ver más ejemplos, lee la guía de series de potencias.

Ejercicios

Radio e intervalo de convergencia

1. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}
2. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
3. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n!\,x^n
4. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x - 2)^n}{3^n}
5. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}
6. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{4^n}
7. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n(x + 1)^n
8. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x - 1)^n}{n}

Construir series

9. Halla una serie de potencias para \dfrac{1}{1 - 3x} y su radio.
10. Halla una serie de potencias para \dfrac{x}{1 + x^2} y su radio.
11. Deriva \frac{1}{1 - x} para obtener una serie de \frac{1}{(1 - x)^2}. Úsala para calcular \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}.
12. Integra una serie de \frac{1}{1 + x} para obtener una serie de \ln(1 + x).

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Cociente: \left|\frac{x^{n+1}}{n + 1}\cdot\frac{n}{x^n}\right| = \frac{n}{n + 1}|x| \to |x|. Así que |x| < 1 y R = 1. En x = 1: \sum\frac{1}{n} diverge. En x = -1: \sum\frac{(-1)^n}{n} converge por el criterio de series alternadas. Intervalo [-1, 1).

2. Cociente: \frac{|x|}{n + 1} \to 0 < 1 para todo x. Así que R = \infty. Es la serie de e^x.

3. Cociente: (n + 1)|x| \to \infty para todo x \neq 0. La serie solo converge en su centro.

4. Es geométrica de razón \frac{x - 2}{3}. Converge cuando |x - 2| < 3, es decir, -1 < x < 5. En los dos extremos los términos son (\pm 1)^n, que no tienden a 0, así que ambos divergen.

5. Cociente: \frac{n^2}{(n + 1)^2}|x| \to |x|, así que R = 1. En x = \pm 1, \sum\frac{(\pm 1)^n}{n^2} converge absolutamente, ya que \sum\frac{1}{n^2} converge. Los dos extremos están incluidos.

6. Es geométrica de razón -\frac{x^2}{4}. Converge cuando \frac{x^2}{4} < 1, es decir, |x| < 2. En x = \pm 2 los términos son (-1)^n, que divergen.

7. Cociente: \frac{n + 1}{n}|x + 1| \to |x + 1|, así que la serie converge para |x + 1| < 1, es decir, -2 < x < 0. En los dos extremos los términos n(\pm 1)^n crecen, así que ambos divergen.

8. Cociente: \frac{n}{n + 1}|2x - 1| \to |2x - 1|. Resuelve |2x - 1| < 1: 0 < x < 1, con centro \frac{1}{2} y R = \frac{1}{2}. En x = 1: \sum\frac{1}{n} diverge. En x = 0: \sum\frac{(-1)^n}{n} converge. Intervalo [0, 1).

9. Cambia x por 3x en la serie geométrica:

10. Cambia x por -x^2 y luego multiplica por x:

11. Deriva los dos lados de \frac{1}{1 - x} = \sum x^n:

Multiplica por x: \sum n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2}. En x = \frac{1}{2}, esto vale \frac{1/2}{1/4} = 2.

12. \frac{1}{1 + x} = \sum(-1)^n x^n. Integra de 0 a x:

Al desplazar el índice se obtiene la forma de la tabla. El radio sigue siendo 1.

Errores comunes en estos ejercicios

• Saltarse los extremos. Los ejercicios 1, 5 y 8 tienen todos R = 1 o R = \frac{1}{2}, pero un comportamiento distinto en los extremos.
• Olvidar el centro. En el ejercicio 4 el centro es 2, así que el intervalo es 2 \pm 3, no \pm 3.
• Radio equivocado por el 2x. En el ejercicio 8, |2x - 1| < 1 significa |x - \frac{1}{2}| < \frac{1}{2}, así que R = \frac{1}{2}, no 1.
• Dejar x dentro del límite. En el criterio del cociente, |x| es una constante. Calcula el límite en n y luego despeja x.

Sigue practicando

Para practicar sin límite con series nuevas y corrección al instante, prueba la lección de series de potencias y radio. Después, aprende a construir la serie de cualquier función con los ejercicios de series de Taylor.