practicecalculus
Começar
practicecalculus
Potências, raízes e funções racionais

Integral de 1/(x² - 1): fórmula, frações parciais e exemplos

A integral de 1/(x² - 1) é ½ ln|(x - 1)/(x + 1)| + C. Veja as frações parciais passo a passo, a fórmula geral de 1/(x² - a²) e integrais definidas resolvidas.

Potências, raízes e funções racionais Atualizado 2 min de leitura

Visão geral

\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C
Primitiva
\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C
Método
Frações parciais
Decomposição
\dfrac{1}{x^2 - 1} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}\right)
Forma geral
\int\dfrac{dx}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x - a}{x + a}\right\rvert + C
Não definida em
x = \pm 1
Nesta página
  1. Gráfico de 1/(x² - 1)
  2. Frações parciais, passo a passo
  3. Verificação por derivação
  4. A fórmula geral: 1/(x² - a²)
  5. Exemplos resolvidos
  6. Erros comuns

A integral de \dfrac{1}{x^2 - 1} é \dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C. É a integral mais simples que exige frações parciais.

\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C

Gráfico de 1/(x² - 1)

Gráfico de y = 1/(x² - 1) com a área de x = 2 a x = 3 sombreada
A função tem assíntotas verticais em x = -1 e x = 1. A área sombreada é \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} \approx 0.203.

Entre as assíntotas a função é negativa, com máximo -1 em x = 0. Fora delas é positiva e decresce em direção a 0.

Frações parciais, passo a passo

  1. Fatore o denominador: x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1).
  2. Monte a decomposição: \dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 1}.
  3. Elimine os denominadores: 1 = A(x + 1) + B(x - 1).
  4. Faça x = 1: 1 = 2A, logo A = \frac{1}{2}. Faça x = -1: 1 = -2B, logo B = -\frac{1}{2}.
  5. Integre cada parte com a integral de 1/x:
\int\left(\frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C
  1. Junte os logaritmos: \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C.

O guia de frações parciais também trata de fatores repetidos e quadráticos.

Verificação por derivação

\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1} \checkmark

A fórmula geral: 1/(x² - a²)

Os mesmos passos com (x - a)(x + a) dão A = \frac{1}{2a} e B = -\frac{1}{2a}, então

\int\frac{1}{x^2 - a^2}\,dx = \frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert + C

Por exemplo, \int\frac{1}{x^2 - 9}\,dx = \frac{1}{6}\ln\left\lvert\frac{x - 3}{x + 3}\right\rvert + C.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: integral definida. Para a região sombreada:

\int_2^3\frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\frac{2}{4} - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} \approx 0.203

Exemplo 2: integral imprópria. Quando x \to \infty, \frac{x - 1}{x + 1} \to 1 e o logaritmo tende a 0:

\int_2^\infty\frac{dx}{x^2 - 1} = 0 - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549

Exemplo 3: entre as assíntotas. \int_0^{1/2}\frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\frac{1/2}{3/2} - 0 = -\frac{1}{2}\ln 3. Negativa, como o gráfico prevê.

Exemplo 4: o sinal invertido. \int\frac{1}{1 - x^2}\,dx = -\int\frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + x}{1 - x}\right\rvert + C.

Exemplo 5: uma substituição antes. \int\frac{\cos x}{\sin^2 x - 1}\,dx com u = \sin x vira \int\frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{\sin x - 1}{\sin x + 1}\right\rvert + C.

Erros comuns

  1. Responder \arctan x. Isso vale para x^2 + 1. Confira o sinal no denominador.
  2. Responder \ln\lvert x^2 - 1\rvert. O numerador é 1, e não 2x, então o padrão \frac{f'}{f} não se aplica. Esse padrão dá a integral de x/(x² + 1).
  3. Errar o sinal de B. Substitua valores de volta para conferir a decomposição.
  4. Integrar passando por x = \pm 1. Essas integrais são impróprias e divergem.

Pratique com os exercícios de frações parciais.

Pratique agora

Frações parciais

Resolva problemas reais sobre este tópico com feedback instantâneo, dicas e uma resolução passo a passo para cada resposta. Grátis, sem cadastro para começar.

Praticar esta lição

Perguntas frequentes

Qual é a integral de 1/(x² - 1)?
É \frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C, que se junta em \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C.

Qual é a integral de 1/(1 - x²)?
É o oposto da anterior: \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + x}{1 - x}\right\rvert + C. Para \lvert x\rvert < 1 isso é igual a \operatorname{artanh} x + C.

Qual é a integral de 1/(x² - a²)?
É \frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert + C, obtida com as mesmas frações parciais.

Por que não dá arctg?
\arctan x vem de \frac{1}{x^2 + 1}, cujo denominador nunca se fatora nos reais. Já x^2 - 1 se fatora, então entram as frações parciais e os logaritmos.

Escrito pela equipe do PracticeCalculus

Criamos lições interativas de cálculo e escrevemos cada página para ser clara e correta. Viu algo errado? Avise e nós corrigimos.

integrais relacionados

Integral de 1/x \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C A integral de 1/x é ln|x| + C. Veja por que a regra da potência falha aqui, de onde vem o módulo e como lidar com 1/(ax + b) e com f'/f. Integral de x/(x² + 1) \int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C A integral de x/(x² + 1) é ½ ln(x² + 1) + C. Veja a substituição passo a passo, por que o módulo não é necessário e integrais parecidas como 1/(x² + 1). Integral de 1/(1+x²) \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C A integral de 1/(1+x²) é arctg x + C. Entenda o porquê com uma substituição por tangente, a versão 1/(a²+x²), um gráfico e exemplos resolvidos.