Integral de 1/(1+x²): fórmula, passo a passo e exemplos
A integral de 1/(1+x²) é arctg x + C. Entenda o porquê com uma substituição por tangente, a versão 1/(a²+x²), um gráfico e exemplos resolvidos.
Integrais com trigonométricas inversas Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Primitiva
- \arctan x + C
- Forma geral
- \displaystyle\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C
- Método
- Substituição x = \tan\theta, ou reconhecer a derivada da arctg
- De 0 a 1
- \dfrac{\pi}{4}
- Na reta inteira
- \pi
Nesta página
A integral de \dfrac{1}{1+x^2} é \arctan x + C. É uma das poucas integrais que você deve reconhecer de imediato, porque transforma uma simples função racional num ângulo.
A versão mais geral, para qualquer constante a > 0, é
Gráfico de 1/(1+x²) e de sua primitiva
A curva \frac{1}{1+x^2} é positiva em todo ponto, então sua primitiva é sempre crescente. Ela também achata rapidamente, e é por isso que \arctan x se aproxima das retas horizontais y = \pm\frac{\pi}{2}.
Como integrar 1/(1+x²) passo a passo
Você pode simplesmente reconhecer a derivada de arctg x. Se quiser ver de onde vem a resposta, use a substituição x = \tan\theta.
- Seja x = \tan\theta, então dx = \sec^2\theta\,d\theta.
- Use a identidade 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta: \int \frac{\sec^2\theta}{1+\tan^2\theta}\,d\theta = \int \frac{\sec^2\theta}{\sec^2\theta}\,d\theta = \int 1\,d\theta = \theta + C
- Volte para x. Como x = \tan\theta, temos \theta = \arctan x.
Para \frac{1}{a^2+x^2}, coloque a^2 em evidência e substitua u = \frac{x}{a}, dx = a\,du:
É a mesma ideia da substituição trigonométrica, na sua forma mais simples.
Verificação por derivação
Com a = 1 isso devolve \frac{1}{1+x^2}.
Integrais definidas
| Integral | Valor |
|---|---|
| \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} | \frac{\pi}{4} \approx 0.785 |
| \int_{-1}^{1} \frac{dx}{1+x^2} | \frac{\pi}{2} |
| \int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2} | \frac{\pi}{3} |
| \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} | \pi |
A última é uma integral imprópria. Ela converge mesmo com o intervalo infinito, porque \frac{1}{1+x^2} decai como \frac{1}{x^2}.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: uma constante diferente de 1. \displaystyle\int \frac{dx}{9 + x^2}. Aqui a = 3:
Exemplo 2: um coeficiente em x². \displaystyle\int \frac{dx}{1 + 4x^2}. Seja u = 2x, du = 2\,dx:
Exemplo 3: complete o quadrado. \displaystyle\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}. Escreva x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4 e use a = 2 com u = x + 1:
Exemplo 4: separe o numerador. \displaystyle\int \frac{x + 3}{x^2 + 1}\,dx. Separe em duas integrais conhecidas:
A primeira parte é tratada na página da integral de x/(x²+1).
Erros comuns
- Escrever \ln(1 + x^2). Essa é a primitiva de \frac{2x}{1+x^2}, e não de \frac{1}{1+x^2}. Sem um x no numerador, não há du para uma substituição logarítmica.
- Esquecer o \frac{1}{a}. \int \frac{dx}{4+x^2} é \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}, e não \arctan\frac{x}{2}. Derive a resposta para pegar esse erro.
- Confundir com \frac{1}{1-x^2}. Um sinal de menos muda tudo. \frac{1}{1-x^2} exige frações parciais e dá logaritmos; veja a integral de 1/(x²−1).
- Usar graus. \arctan 1 = \frac{\pi}{4}, e não 45. No cálculo usamos sempre radianos.
Para a própria função inversa, veja a página do arco tangente. Para integrar \arctan x (em vez de obtê-la como resposta), veja a integral de arctg x.
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