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Puissances, racines et fonctions rationnelles

Intégrale de 1/(x² - 1) : formule, éléments simples, exemples

L'intégrale de 1/(x² - 1) vaut ½ ln|(x - 1)/(x + 1)| + C. La décomposition en éléments simples, la formule générale 1/(x² - a²) et des exemples.

Puissances, racines et fonctions rationnelles Mis à jour Lecture : 3 min

En bref

\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C
Primitive
\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C
Méthode
Décomposition en éléments simples
Décomposition
\dfrac{1}{x^2 - 1} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}\right)
Forme générale
\int\dfrac{dx}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x - a}{x + a}\right\rvert + C
Non définie en
x = \pm 1
Sur cette page
  1. Graphique de 1/(x² - 1)
  2. Décomposition en éléments simples pas à pas
  3. Vérification par dérivation
  4. La formule générale : 1/(x² - a²)
  5. Exemples corrigés
  6. Erreurs fréquentes

L'intégrale de \dfrac{1}{x^2 - 1} est \dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C. C'est l'intégrale la plus simple qui demande une décomposition en éléments simples.

\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C

Graphique de 1/(x² - 1)

Graphique de y = 1/(x² - 1), avec l'aire de x = 2 à x = 3 hachurée
La fonction a des asymptotes verticales en x = -1 et x = 1. L'aire hachurée vaut \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} \approx 0.203.

Entre les asymptotes, la fonction est négative, avec un maximum de -1 en x = 0. À l'extérieur, elle est positive et décroît vers 0.

Décomposition en éléments simples pas à pas

  1. Factoriser le dénominateur : x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1).
  2. Poser la décomposition : \dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 1}.
  3. Chasser les dénominateurs : 1 = A(x + 1) + B(x - 1).
  4. Avec x = 1 : 1 = 2A, donc A = \frac{1}{2}. Avec x = -1 : 1 = -2B, donc B = -\frac{1}{2}.
  5. Intégrer chaque morceau avec l'intégrale de 1/x :
\int\left(\frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C
  1. Regrouper les logarithmes : \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C.

Le guide sur la décomposition en éléments simples traite aussi les facteurs répétés et les facteurs du second degré.

Vérification par dérivation

\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1} \checkmark

La formule générale : 1/(x² - a²)

Les mêmes étapes avec (x - a)(x + a) donnent A = \frac{1}{2a}, B = -\frac{1}{2a}, donc

\int\frac{1}{x^2 - a^2}\,dx = \frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert + C

Par exemple, \int\frac{1}{x^2 - 9}\,dx = \frac{1}{6}\ln\left\lvert\frac{x - 3}{x + 3}\right\rvert + C.

Exemples corrigés

Exemple 1 : intégrale définie. Pour la région hachurée :

\int_2^3\frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\frac{2}{4} - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} \approx 0.203

Exemple 2 : intégrale impropre. Quand x \to \infty, \frac{x - 1}{x + 1} \to 1 et le logarithme tend vers 0 :

\int_2^\infty\frac{dx}{x^2 - 1} = 0 - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549

Exemple 3 : entre les asymptotes. \int_0^{1/2}\frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\frac{1/2}{3/2} - 0 = -\frac{1}{2}\ln 3. Négatif, comme le prévoit le graphique.

Exemple 4 : le signe inversé. \int\frac{1}{1 - x^2}\,dx = -\int\frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + x}{1 - x}\right\rvert + C.

Exemple 5 : d'abord un changement de variable. \int\frac{\cos x}{\sin^2 x - 1}\,dx avec u = \sin x devient \int\frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{\sin x - 1}{\sin x + 1}\right\rvert + C.

Erreurs fréquentes

  1. Répondre \arctan x. C'est pour x^2 + 1. Vérifiez le signe au dénominateur.
  2. Répondre \ln\lvert x^2 - 1\rvert. Le numérateur est 1, pas 2x, donc le schéma \frac{f'}{f} ne s'applique pas. Ce schéma donne plutôt l'intégrale de x/(x² + 1).
  3. Se tromper de signe pour B. Remplacez par des valeurs pour vérifier la décomposition.
  4. Intégrer à travers x = \pm 1. Ces intégrales sont impropres et divergent.

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Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de 1/(x² - 1) ?
C'est \frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C, que l'on regroupe en \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C.

Quelle est l'intégrale de 1/(1 - x²) ?
C'est l'opposé du résultat précédent : \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + x}{1 - x}\right\rvert + C. Pour \lvert x\rvert < 1, cela vaut \operatorname{artanh} x + C.

Quelle est l'intégrale de 1/(x² - a²) ?
C'est \frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert + C, obtenue avec la même décomposition en éléments simples.

Pourquoi le résultat n'est-il pas arctan ?
\arctan x vient de \frac{1}{x^2 + 1}, dont le dénominateur ne se factorise pas sur les réels. x^2 - 1 se factorise, donc ce sont les éléments simples et les logarithmes qui prennent le relais.

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