Integral de e^(−x): fórmula, passo a passo e exemplos

A integral de e^{-x} é -e^{-x} + C. A única mudança em relação à integral de eˣ é o sinal de menos, que vem do -1 no expoente.

Gráfico de e⁻ˣ e sua área

e^{-x} é um decaimento exponencial: começa em 1 quando x = 0 e perde a mesma fração de sua altura a cada passo de uma unidade. Esse encolhimento constante é o que faz a cauda infinita somar uma área finita.

Como integrar e⁻ˣ passo a passo

1. Seja u = -x. Então du = -dx, logo dx = -du.
2. Reescreva: \displaystyle\int e^{-x}\,dx = -\int e^u\,du.
3. Integre: -e^u + C.
4. Volte à variável original: -e^{-x} + C.

Esse é o caso k = -1 da regra \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C da página da integral de e²ˣ. Para taxas de decaimento k > 0:

Verificação por derivação

Os dois sinais de menos se cancelam. Veja a derivada de e⁻ˣ.

Integrais definidas e impróprias

De 0 a 1: \left[-e^{-x}\right]_0^1 = -e^{-1} + 1 = 1 - \frac{1}{e} \approx 0.632.

De 0 a ∞: essa é uma integral imprópria, então calcule um limite:

Uma taxa de decaimento k. \int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k} para k > 0. Multiplicando por k, obtemos \int_0^\infty ke^{-kx}\,dx = 1, a probabilidade total da distribuição exponencial usada para tempos de espera.

Verificação da meia-vida. \int_0^{\ln 2} e^{-x}\,dx = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. Metade da área total fica antes de x = \ln 2 \approx 0.693.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: expoente multiplicado. \displaystyle\int e^{-x/3}\,dx = -3e^{-x/3} + C.

Exemplo 2: x vezes e⁻ˣ. Use integração por partes com u = x e dv = e^{-x}\,dx, então du = dx e v = -e^{-x}:

De 0 a \infty isso vale 0 - (-1) = 1, porque xe^{-x} \to 0 quando x \to \infty.

Exemplo 3: medicamento na corrente sanguínea. Um medicamento sai do corpo a uma taxa de 40e^{-0.5t} mg por hora. A quantidade eliminada nas primeiras 4 horas é

Exemplo 4: funções hiperbólicas. \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, então

Erros comuns

1. Esquecer o sinal de menos. \int e^{-x}\,dx não é e^{-x} + C. Derive sua resposta: você deve obter +e^{-x}.
2. Escrever \frac{e^{-x+1}}{-x+1}. Isso é a regra da potência aplicada a uma exponencial, o que nunca vale.
3. Achar que a integral imprópria diverge. O intervalo é infinito, mas a área é 1. Use um limite, não pare no "infinito".
4. Confundir e^{-x} com e^{-x^2}. A curva de sino e^{-x^2} não tem primitiva elementar; veja a integral de e^(x²).

Para mais sobre produtos como xe^{-x}, veja a integral de x eˣ.