Intégrale de e^(−x) : formule, méthode et exemples

L'intégrale de e^{-x} est -e^{-x} + C. La seule différence avec l'intégrale de eˣ est le signe moins, qui vient du -1 dans l'exposant.

Graphique de e⁻ˣ et de son aire

e^{-x} est une décroissance exponentielle : elle part de 1 en x = 0 et perd la même fraction de sa hauteur à chaque pas d'une unité. C'est cette diminution régulière qui donne une aire finie à la queue infinie.

Comment intégrer e⁻ˣ pas à pas

1. Poser u = -x. Alors du = -dx, donc dx = -du.
2. Réécrire : \displaystyle\int e^{-x}\,dx = -\int e^u\,du.
3. Intégrer : -e^u + C.
4. Revenir à la variable de départ : -e^{-x} + C.

C'est le cas k = -1 de la règle \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C vue sur la page intégrale de e²ˣ. Pour des taux de décroissance k > 0 :

Vérification par dérivation

Les deux signes moins se compensent. Voir la dérivée de e⁻ˣ.

Intégrales définies et impropres

De 0 à 1 : \left[-e^{-x}\right]_0^1 = -e^{-1} + 1 = 1 - \frac{1}{e} \approx 0.632.

De 0 à ∞ : c'est une intégrale impropre, donc on passe à la limite :

Un taux de décroissance k. \int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k} pour k > 0. En multipliant par k, on obtient \int_0^\infty ke^{-kx}\,dx = 1, la probabilité totale de la loi exponentielle utilisée pour les temps d'attente.

Vérification par la demi-vie. \int_0^{\ln 2} e^{-x}\,dx = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. La moitié de l'aire totale se trouve avant x = \ln 2 \approx 0.693.

Exemples corrigés

Exemple 1 : un exposant multiplié. \displaystyle\int e^{-x/3}\,dx = -3e^{-x/3} + C.

Exemple 2 : x fois e⁻ˣ. On utilise l'intégration par parties avec u = x et dv = e^{-x}\,dx, donc du = dx et v = -e^{-x} :

De 0 à \infty, cela vaut 0 - (-1) = 1, car xe^{-x} \to 0 quand x \to \infty.

Exemple 3 : un médicament dans le sang. Un médicament est éliminé de l'organisme au rythme de 40e^{-0.5t} mg par heure. La quantité éliminée pendant les 4 premières heures vaut

Exemple 4 : fonctions hyperboliques. \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, donc

Erreurs fréquentes

1. Oublier le signe moins. \int e^{-x}\,dx ne vaut pas e^{-x} + C. Dérivez votre résultat : vous devez obtenir +e^{-x}.
2. Écrire \frac{e^{-x+1}}{-x+1}. C'est la règle de la puissance appliquée à une exponentielle, ce qui n'est jamais valable.
3. Croire que l'intégrale impropre diverge. L'intervalle est infini, mais l'aire vaut 1. Passez à la limite, ne vous arrêtez pas à « l'infini ».
4. Confondre e^{-x} et e^{-x^2}. La courbe en cloche e^{-x^2} n'a pas de primitive élémentaire ; voir l'intégrale de e^(x²).

Pour d'autres produits comme xe^{-x}, voir l'intégrale de x eˣ.