Integral de x/(x² + 1): fórmula, passo a passo e exemplos
A integral de x/(x² + 1) é ½ ln(x² + 1) + C. Veja a substituição passo a passo, por que o módulo não é necessário e integrais parecidas como 1/(x² + 1).
Potências, raízes e funções racionais Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Primitiva
- \dfrac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C
- Método
- Substituição com u = x^2 + 1
- Módulo
- Não é necessário, pois x^2 + 1 > 0
- Intervalo simétrico
- \int_{-a}^{a}\dfrac{x}{x^2 + 1}\,dx = 0
- Compare
- \int \dfrac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C
Nesta página
A integral de \dfrac{x}{x^2 + 1} é \dfrac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C. É o exemplo clássico de livro de uma substituição (mudança de variável) que resulta num logaritmo.
Gráfico de x/(x² + 1) e de sua primitiva
A substituição, passo a passo
- Perceba que a derivada do denominador, 2x, coincide com o numerador a menos de uma constante.
- Seja u = x^2 + 1. Então du = 2x\,dx, logo x\,dx = \frac{1}{2}du.
- Reescreva: \displaystyle\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,du.
- Integre com a integral de 1/x: \frac{1}{2}\ln\lvert u\rvert + C.
- Volte à variável original: \frac{1}{2}\ln\lvert x^2 + 1\rvert + C.
- Como x^2 + 1 \ge 1 > 0, tire as barras: \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C.
O padrão geral é \int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C. Aqui o numerador é \frac{1}{2}f'(x), o que gera o fator \frac{1}{2}.
Verificação por derivação
Integrais definidas
Exemplo 1. \int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347.
Exemplo 2. \int_{-3}^{3}\frac{x}{x^2 + 1}\,dx = 0. O integrando é ímpar, então a área à esquerda cancela a área à direita.
Exemplo 3: mudando os limites. Com u = x^2 + 1, os limites x = 0 e x = 2 viram u = 1 e u = 5:
Integrais relacionadas
Pequenas mudanças no integrando mudam completamente o método:
| Integral | Método | Resposta |
|---|---|---|
| \int\frac{x}{x^2 + 1}\,dx | u = x^2 + 1 | \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C |
| \int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx | fórmula conhecida | \arctan x + C |
| \int\frac{x}{(x^2 + 1)^2}\,dx | u = x^2 + 1 | -\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C |
| \int\frac{x}{x^2 + a^2}\,dx | u = x^2 + a^2 | \frac{1}{2}\ln(x^2 + a^2) + C |
| \int\frac{x^3}{x^2 + 1}\,dx | dividir antes | \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C |
Na última linha, a divisão de polinômios dá \frac{x^3}{x^2 + 1} = x - \frac{x}{x^2 + 1}.
Exemplo 4: separe o numerador.
A segunda parte usa a integral de 1/(1 + x²).
Erros comuns
- Esquecer o \frac{1}{2}. du = 2x\,dx, então x\,dx é só metade de du.
- Responder \arctan x. Essa é a integral de \frac{1}{x^2 + 1}, sem o x no numerador.
- Escrever \ln\lvert x\rvert\cdot\ln\lvert x^2 + 1\rvert ou separar a fração como \frac{x}{x^2} + \frac{x}{1}. Não se separa uma fração quando a soma está no denominador.
- Integrar \frac{x}{x^2 - 1} do mesmo jeito e tirar as barras. Essa dá \frac{1}{2}\ln\lvert x^2 - 1\rvert + C, e o módulo faz diferença.
Mais prática: exercícios de substituição.
Pratique agora
Substituição (mudança de variável)
Resolva problemas reais sobre este tópico com feedback instantâneo, dicas e uma resolução passo a passo para cada resposta. Grátis, sem cadastro para começar.
Praticar esta lição