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Potencias, raíces y funciones racionales

Integral de x/(x² + 1): fórmula, pasos y ejemplos

La integral de x/(x² + 1) es ½ ln(x² + 1) + C. El cambio de variable paso a paso, por qué no hace falta valor absoluto e integrales parecidas como 1/(x² + 1).

Potencias, raíces y funciones racionales Actualizado 2 min de lectura

De un vistazo

\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C
Antiderivada
\dfrac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C
Método
Cambio de variable con u = x^2 + 1
Valor absoluto
No hace falta, ya que x^2 + 1 > 0
Intervalo simétrico
\int_{-a}^{a}\dfrac{x}{x^2 + 1}\,dx = 0
Compara con
\int \dfrac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C
En esta página
  1. Gráfica de x/(x² + 1) y su antiderivada
  2. El cambio de variable paso a paso
  3. Comprobación derivando
  4. Integrales definidas
  5. Integrales relacionadas
  6. Errores comunes

La integral de \dfrac{x}{x^2 + 1} es \dfrac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C. Es el ejemplo de manual de un cambio de variable que termina en un logaritmo.

\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C

Gráfica de x/(x² + 1) y su antiderivada

Área bajo y = x/(x² + 1) entre 0 y 2, con la antiderivada y = ½ ln(x² + 1)
El área sombreada es \frac{1}{2}\ln 5 \approx 0.805. La función es impar y su antiderivada es par: la curva discontinua es simétrica respecto al eje y, con un mínimo en x = 0.

El cambio de variable paso a paso

  1. Observa que la derivada del denominador, 2x, coincide con el numerador salvo una constante.
  2. Sea u = x^2 + 1. Entonces du = 2x\,dx, así que x\,dx = \frac{1}{2}du.
  3. Reescribe: \displaystyle\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{1}{u}\,du.
  4. Integra con la integral de 1/x: \frac{1}{2}\ln\lvert u\rvert + C.
  5. Deshaz el cambio: \frac{1}{2}\ln\lvert x^2 + 1\rvert + C.
  6. Como x^2 + 1 \ge 1 > 0, quita las barras: \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C.

El patrón general es \int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C. Aquí el numerador es \frac{1}{2}f'(x), y de ahí sale el factor \frac{1}{2}.

Comprobación derivando

\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1)\right] = \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{x}{x^2 + 1} \checkmark

Integrales definidas

Ejemplo 1. \int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347.

Ejemplo 2. \int_{-3}^{3}\frac{x}{x^2 + 1}\,dx = 0. El integrando es impar, así que el área de la izquierda cancela el área de la derecha.

Ejemplo 3: cambio de límites. Con u = x^2 + 1, los límites x = 0 y x = 2 pasan a ser u = 1 y u = 5:

\int_0^2 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\int_1^5\frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln 5

Integrales relacionadas

Pequeños cambios en el integrando cambian por completo el método:

Integral Método Resultado
\int\frac{x}{x^2 + 1}\,dx u = x^2 + 1 \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C
\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx fórmula conocida \arctan x + C
\int\frac{x}{(x^2 + 1)^2}\,dx u = x^2 + 1 -\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C
\int\frac{x}{x^2 + a^2}\,dx u = x^2 + a^2 \frac{1}{2}\ln(x^2 + a^2) + C
\int\frac{x^3}{x^2 + 1}\,dx dividir primero \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C

En la última fila, la división de polinomios da \frac{x^3}{x^2 + 1} = x - \frac{x}{x^2 + 1}.

Ejemplo 4: separar el numerador.

\int\frac{2x + 3}{x^2 + 1}\,dx = \int\frac{2x}{x^2 + 1}\,dx + 3\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + 3\arctan x + C

El segundo término usa la integral de 1/(1 + x²).

Errores comunes

  1. Olvidar el \frac{1}{2}. du = 2x\,dx, así que x\,dx es solo la mitad de du.
  2. Responder \arctan x. Esa es la integral de \frac{1}{x^2 + 1}, sin la x arriba.
  3. Escribir \ln\lvert x\rvert\cdot\ln\lvert x^2 + 1\rvert o separar la fracción como \frac{x}{x^2} + \frac{x}{1}. Una fracción no se puede separar sobre una suma en el denominador.
  4. Integrar \frac{x}{x^2 - 1} igual y quitar las barras. Esa da \frac{1}{2}\ln\lvert x^2 - 1\rvert + C, y el valor absoluto importa.

Más práctica: ejercicios de cambio de variable.

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Preguntas frecuentes

¿Cuál es la integral de x/(x² + 1)?
Es \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C. Usa u = x^2 + 1, de modo que x\,dx = \frac{1}{2}du.

¿Cuál es la integral de 2x/(x² + 1)?
Es \ln(x^2 + 1) + C. El numerador es exactamente la derivada del denominador, así que el resultado es el logaritmo del denominador.

¿Cuánto vale la integral de x/(x² + 1) entre 0 y 1?
Vale \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\ln 1 = \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.347.

¿Converge la integral de x/(x² + 1) de 0 a infinito?
No. \frac{1}{2}\ln(b^2 + 1) \to \infty cuando b \to \infty, así que la integral diverge. Para x grande el integrando se comporta como \frac{1}{x}.

Escrito por el equipo de PracticeCalculus

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